フーリエ変換の問題について

質問

f(x)=e^(-ax^2) 　(-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

搦め手からの別解です

F(ω)＝∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで　d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
＝ -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

回答No.1

inara1

フーリエ変換の定義が分からないので、積分
　　　∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx
の部分だけ解法を紹介します。

被積分関数は
　　　e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) = e^{ -a*x^2 - i*ω*x }
　　　　　　　　　　　　　　　　　 = e^{ -a*( x^2 + i*ω*x/a ) }
　　　　　　　　　　　　　　　　　 = e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 - { i*ω/(2*a) }^2 ] ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　 = e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 +{ ω/(2*a) }^2 ] ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　 = e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 ] ]*e^{ - ω^2/(4*a) }
と変形できます。

ここで x + i*ω/(2*a) = X とおくと
　　　e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) = e^( -a*X^2 )*e^{ - ω^2/(4*a) }
　　　dx = dX
　　　積分範囲は -∞≦X≦∞
したがって
　　　∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx = ∫[-∞≦X≦∞] e^( -a*X^2 )*e^{ - ω^2/(4*a) } dX
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= e^{ - ω^2/(4*a) }*∫[-∞≦X≦∞] e^( -a*X^2 ) dX

a > 0 のとき、∫[-∞≦X≦∞] e^( -a*X^2 ) dX はガウス積分と呼ばれ、その値は √(π/a)
つまり
　　　∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx = √(π/a)*e^{ - ω^2/(4*a) }

ガウス積分　http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/gaussIntegral/