この式の導き方

質問

お世話になります。
以下の式の導き方を教えて頂きたく、
大変お手数ですが、どうぞよろしくお願いします。
自分でやっても、どうしても途中で止まってしまいます。。

(与えられる式)
　Ra + P + Rc = 0 　　・・・(1)
　Ra + N1 = 0 　　　　 ・・・(2)
　Rc - N2 = 0 　　　　・・・(3)
　U1 + U2 = 0 　　　　・・・(4)
　U1 = (N1*L)/(3*E1*A) ・・・(5)
　U2 = (2*N2*L)/(3*E2*A)・・・(6)

(導く式)
　Ra = -P(2*E1)/(2*E1+E2)・・・(7)
　Rc = -P*E2/(2*E1+E2)　 ・・・(8)
　U1 = (2*P*L)/(3*A(2*E1+E2))・・・(9)

以上、よろしくお願い致します。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

随分、表記が面倒くさいので文字を置き換えます。
紛らわしい表記は間違いの元ですので。後で変数を戻してください。
また、全ての数は0でないとします。

今、変数(と思われる)に関しては
Ra=R,Rc=S,U1=U,U2=V,N1=N,N2=M　と書き、定数(と思われる)ものは
E1=e,E2=f,P=p,A=a,L=k　と書き換えると問題は

　R + p + S = 0 　　・・・(1)
　R + N = 0 　　　　 ・・・(2)
　S - M = 0 　　　　・・・(3)
　U + V = 0 　　　　・・・(4)
　U = kN/3ae　　　 ・・・(5)
　V = 2kM/3af　　　・・・(6)

(2)より
R=-N
(3)より
S=M
(1)に代入して
-N+p+M=0
N=M+p　　　・・・(10)

(4),(5),(6)より
kN/3ae+2kM/3af=k/3a(N/e+2M/f)=0
N/e+2M/f=0
N=-2eM/f　　　・・・(11)
(10)に代入して
M+p=-2eM/f
M(1+2e/f)=-p
M(f+2e)=-fp
S=M=-fp/(f+2e)
R=-N=2eM/f=-2ep/(f+2e)　　　(∵(11)より)
U=kN/3ae=2ekp/3ae(f+2e)=2kp/3a(f+2e)

お礼

大変助かりました。
自分でも導く事ができました。

どうもありがとうございました。感謝します。

以上

回答No.2

noname#26313

Ra、Rc、U1の値を求めると考えて（その他の変数P、N1などを定数とする）、三行三列の行列式を作り、Cramerの公式を適用します。
先ず、二式のN1、三式のN2、四式のU2を消去し、それぞれRa、Rc、U1で表わして後、全ての式を、これら三つの変数間の式に書き直します。

1・Ra 　　　　　+　　　　　 1・Rc　　　 + 0・U1 = -P
L/(3*E1*A)・Ra +　　　　 0・Rc　　　　+ 1・U1 = 0
0・Ra 　　　　　+ (-2*L)/(3*E2*A)・Rc-1・U1 = 0

Ra={ |-P,1,0|
　　　|0,0,1|
　　　|0,(-2*L)/(3*E2*A),1|}
　　/{ |1,1,0|
　　　|L/(3*E1*A),0,1|
　　　|0,(-2*L)/(3*E2*A),-1|}
Rc={{ |1,-P,0|
　　　|L/(3*E1*A),0,1|
　　　|0,0,-1|}
　　/{ |1,1,0|
　　　|L/(3*E1*A),0,1|
　　　|0,(-2*L)/(3*E2*A),-1|}
U1={{ |1,1,-P|
　　　|L/(3*E1*A),0,0|
　　　|0,(-2*L)/(3*E2*A),0|}
　　/{ |1,1,0|
　　　|L/(3*E1*A),0,1|
　　　|0,(-2*L)/(3*E2*A),-1|}

それぞれの分数の分母をΔとすると、Δ=(2*L)/(3*E2*A)+L/(3*E1*A)=L/(3A)・{2/(E2)+1/(E1)}
故に、
Ra=P・(-2*L)/(3*E2*A)/Δ=P・(-2)/(E2)/{2/(E2)+1/(E1)}=-2P/{2+(E2/E1)}
Rc=-P・L/(3*E1*A)/Δ=-P/(E1)/{2/(E2)+1/(E1)}=-P/{2・(E1/E2)+1}
U1={(2*L)/(3*E2*A)}・{PL/(3*E1*A)}/Δ=(2P)L/(3A)・{1/(E2)・(E1)}/{2/(E2)+1/(E1)}={(2PL)/(3A)}/(2・E1+E2)

お礼

こういった導き方もあるんですね。
大変参考になりました。
どうもありがとうございました。感謝します。

以上