漸化式について

質問

いつもお世話になっております。先日、かぜで予備校の授業を休んでしまい、テキストをいまいち理解できていないので質問させていただきます。
　漸化式の単元だったのですが、「p,qをp≠1,q≠0の定数として　ａ1=ａ , ａ n+1=p*ａn+q」という漸化式があり、解法の途中でα=pα+qという式が出てくるのですが、なぜａn+1とａnがともにαに置き換えることができるのかが理解できません。
　どなたかご教授ください。

回答No.1

noname#196225 · ベストアンサー

特性方程式の話ですね。
αと置くのは便宜上・都合上の話で、直接つながる話ではないです。
直接つなげると下のようになります。

漸化式はA_n+1=k*A_nとなってくれている場合、A_nを出すのは簡単
ですよね？
A_n+1=a_n+1-αとして、a_n+1-α=p*(a_n-α)となってくれれば、
A_nについては計算できるので話は早いのです。
では、このαはどうやって求まるでしょうか？
(a_n+1-α)=p*(a_n-α)がa_n+1=p*a_n+qと同じにするには、
左辺にα,右辺にpα+qをそれぞれ足して、両辺の足した数が
等しくなればいいのです。つまり、α=pα+qです。

こういう「両辺に別々の数を足して、両辺の足した数が等しくなるように
それぞれの足した数をイコールで結ぶ」式を特性方程式と呼びます。

少し難しかったでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございました。頑張ります。

回答No.3

noname#250262

a_n+1 = p * a_n + q　という漸化式が、
a_n+1 - c = p (a_n - c) に式変形できれば、解くことができます。
そのためには、c は、p , q を使ってどのように表すことができるか。
また、質問文の「α=pα+q」から α は p , q を使ってどのように表すことができるか。
それが、わかれば、この問題の本質が少しわかるようになると思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。参考になりました。

回答No.2

naniwacchi

#1さんが書かれているとおりですが、少しだけ補足（蛇足？）を。

高校の数学では、「特性方程式」という言葉は解答では使えないです。
あくまでも「このように（うまく）変形しました」という感じでの解答になります。

特性方程式のもう少し「ベタ」な導き方は、次のようになります。

a(n+1)= p* a(n)+ q …(1式)
を変形して
a(n+1)-α= p* { a(n)-α}
の形になるようにαを求めることを考えると、式を変形して

a(n+1)-α= p* a(n)- p*α
a(n+1)= p* a(n)+ { -p*α+α} …(2式)

(1式)と(2式)を比較すると、q= -p*α+α
よって、α= p*α+ qとなります。

お礼

ご回答ありがとうございました。とても参考になりました。