実数について困ってます。。。

質問

今、実数について勉強しているんですけど、正直今まで文系の道を進んできた私にとってはイマイチよくわかりません。。。

そこで、実数というものはどういったものなのか、その定義や性質について、どなたかわかりやすく教えていただけないでしょうか？？

かなり漠然とした質問内容ですが、どうぞお願いしますm(_ _)m

回答No.4

noname#24129 · ベストアンサー

実数とは実現される数です。

実際に存在する、棒や紐について、ある長さを基準にして、それを切り分け、取り除いたり、継ぎ足したりしてできる別の長さは、やはり実際に存在するものの長さであるはずです。

基準の長さを１として、同じ者を継ぎ足すと、
1+1=2
さらに継ぎ足すと、
1+1+1=2+1=3
このような操作は、無限に繰り返すことを考えることが可能で、
1,2,3,…という自然数が構成されます。

一方、基準の長さの1を2等分、3等分…としていくと、
1/2、1/3,…という自然数の逆数が構成されます。

自然数と、自然数の逆数は、実際にあるものの長さであるはずです。

次に、実際の広さを考えてみましょう。それは、基準となる正方形を、一辺の長さ1であるとし、その面積は1であるといいます。この正方形を、切り分けて、取り除いたり、継ぎ足したり、していくと、いろいろな実際の広さが作られます。1+1/3=5/3という広さもできるでしょう。3*(1/4)=3/4という広さもできるでしょう。こうやって、分母と分子が自然数でできている分数が構成されると思います。このような分数は、実際の広さを表しているものと考えられるはずです。長さについても、自然数と、自然数で作られる分数の中から選ばれる数の足し算や掛け算でいろんな長さがつくられるでしょう。2/3の長さの3/4個分となると分かりにくくなりますが、3つつないでから4等分するか、4等分してから3つ継ぎ足すかすればいいと思います。

大きさはどうでしょうが。これもまた、実際のものの大きさは、自然数か、自然数で作られる分数で表される体積で表現されるでしょう。

ところで、一辺の長さが1の正方形を、対角線で斜めに切り分けて、直角二等辺三角形を作ったとします。これは1/2の面積ですが、これを4つ直角を1つの天の周りにならべていくと、ひし形ができます。面積は、対角線×対角線の半分(2*2)/2=2でもありますし、(1/2)*4=2でもあります。これを正方形と見たときには、1辺の長さ×1辺の長さ=2でなければなりませんが、そのような1辺の長さを、自然数や自然数で作られた分数で表すことは無理です。

そこでこのような1辺の長さを√2と表して、無理数とよんでいます。無理数に対して、分数で表される数は、自然数も(1=1/1のようにあらわされるので)含めて、有理数といいます。

無理数と有理数は、実際にあるものの、長さ、広さ、大きさなどの良をあらわす数です。このような数を実数といいます。さらに、実際の量から作られる割合もまた、実数で表されます。同じ基準で量られる、線分と線分の比ならば、分数で有理数ですが、円の円周に対する直径の比のような場合、どうも1つの基準ではないようで、分数とはならず、無理数πになるようです。

ところで、ものの見方には、あるものに対して、変化を見るという場合もあります。変化というのは、実際に起こっている現象です。このような変化をあらわす量に対しても、実数が使われます。2増加したなら、正の整数で+2、2/3減少したなら、負の分数で、-2/3というようになります。また、変化のない場合は0です。

実数には、0(慣例として有理数に含む)も含まれます。また、正の有理数、負の有理数、正の無理数、負の無理数があります。すべて、実際にある量に関する数です。

では、実数ではない数は何かというと、実際にはない、空虚なものを表すこととなります。それは、ただ想像上のものかもしれないので、実際のリアルな数　Real Number に対して、イメージ上の数　Imagenary Numger 虚数といって、i^2=-1となるような、iを単位と単位とする数です。現実の世界にiの長さというものはありません。しかし想像上の虚数iには何かしら意味があって、実数と虚数を複合させた複素数というものが、現にある物の世界と想像する心の世界がからんだものごとを表すのに適しているようです。

ここから先は分からなくてもいいですが、ついでですので書きますと、量子力学では、量子の存在の可能性を複素数を基本のものとして、波の運動を表現する波動関数の、複素共益な一対の積が、実体化、実現する存在として表されるように構成されています。それは、
　(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2
のように、虚数を含んでいるはずの複素数から構成されるものが、実数化することを原理としています。可能性であったものが、このとき、実現するということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
非常にわかりやすく、イメージしやすいです。
ホントありがとうございます。

回答No.5

noname#40706

私は次のように実数をイメージしているのですが・・・・・

一本の数直線上の全ての点の座標に対応する数の集合が実数だとおもいます。

ですから、実数は連続であり、もちろん無限にある。隙間がない、どんなに近い数の間にも無限の実数が存在する・・・・

要するに、実体（大きさ）のある全ての数です。（０も含む！）

数学の専門家ではありませんので間違っているかも知れません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
実数というものをイメージしやすくなりました。

回答No.3

kabaokaba

「勉強してる」っていう内容によって
答え方は複数あります．

まじめに厳密に定義しようとするとめちゃくちゃに大変です．

実数の性質で一番重要なのは「連続性」です．
連続性にはいくつかの表現がありますが，
一番シンプルなのは

実数の無限数列 a1 a2 a3 .... があって
(1) a1 <= a2 <= ・・・ <= an <= ・・・ (広義単調増加)
(2) ある数Mが存在して任意のnに対して an < M
であるならば，数列 {an} は収束する

という性質ですが・・・．

他にも，四則演算について閉じているとか
アルキメデス性とかあります．

お礼

ご回答ありがとうございます。
正直お恥ずかしい話ですが、勉強しているといっても、そこまで深くまではやってないんです。でも、私はホント理解できなくて。。。
わかりやすいご説明ありがとうございます。

回答No.2

ccyuki

実数は複素数を知らないのであれば、知っているすべての数のことです。

自然数　1,2,3・・・・・
整数　・・・・-3,-2,-1,0,1,2,3,・・・・
と拡張して　次は有理数です。
有理数は　n/m　の分数の形に書ける数で　m:自然数,n:整数です。
　　2=2/1　ですからもちろん整数はオーケーですし
　　-3/2　,　0.1=1/10,　-2.3333・・・=-7/3　等
そしてこれに　無理数を合わせたもの
つまり　有理数と無理数を合わせたものが実数です。

無理数は　√3　とか　2+√5　とか　πとか　・・・です。

ちなみに　虚数　i　とか　2-3i　とかがあり
実数と虚数を合わせて　複素数といいます

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

回答No.1

mii-japan

通常使用している　数値です

1,2,3　とか　10.458　1/3　-12　-0.25　√2　とかが　実数です

実数の極一部が整数です

厳密な定義が必要でしょうか　？

お礼

ご回答ありがとうございます。

定義のほうも教えていただけるなら宜しくお願いします。