虚数と実数の起原に関する前後？

質問

数学の歴史の本を読みますと実数のほうが先に見つかってその後で虚数が受け入れられるようになったというようなことが書いてあります．しかし勉強してみると虚数から実数が出てくる方向の方が実数から虚数が出てくる方向よりも自然な感じもするのですが．あるいは起原にあとさきはないのかもしれませんが、この辺のことをどのように考えたらよいのでしょうか？いわゆる文系の方のご感想も聴けたらありがたいと思います．

回答No.3

liar_adan · ベストアンサー

いわんとすることは、
「虚数と実数では
虚数の方がより普遍的であり、
実数の方がより特殊である。
だから、虚数の方がもとのはずだ」
ということでしょうか。

普遍的の方が先と感じる気持ちはわかります。
しかし、歴史的には必ずしもそうではありません。
たとえば、質問で問題になっているのは「数」ですが、
数学者は「数」よりもっと普遍的な対象である
「群」とか「体」を扱っています。
ですがこれらの数学的対象が発見されたのは、
「数」よりはるかに遅く、19世紀になってからです。

数学をやると、
「普遍的に考えるのも、大変な労力を要する」
ものであることがわかります。
数学者は「より普遍的、より普遍的」と、
普遍的な物を探していますが、
普遍的な概念は、なかなか見つかりません。

以下は、ごく感覚的な私論です。
普遍的なものが先に来ないのは、
われわれの住んでいる世界が、適度に普遍的で適度に特殊であるからではないでしょうか。
動物の場合、「あそこにあのくらいの水がある」とか、
「あそこにたくさんの獲物がいる」という程度の概念で生活しています。
「数」などの普遍的概念はなく、思考はすべて、特殊なものに対しての思考です。
それから進化して、人間は、いくらか普遍的な概念を扱えるようになりました。
ですが完全に普遍的な世界には到達していません。
もしかしたら、人間よりはるかに普遍的な世界に住む存在があって、
それが神というのかもしれません。

お礼

なるほどと思いました．大変普遍的なご教示だと思いました．視野をひろげてというのもそういうことかなと改めて啓発された感じがします．ありがとうございました。

回答No.6

Tacosan

3次方程式の解の公式では解くために 2次方程式を使いますが, 元の 3次方程式が 3個の相異なる実解を持つときにはそこから得られる 2次方程式は虚解を持つことが知られています. そのため, 形式的ですが √-1 というものを使うようになったとか.

その時点では √-1 は形式的なものであると考えられており, 数学的な実体を持つという認識はなかったようです.

回答No.5

physicsache

二次関数の解を求めるとき、判別式がゼロより小さければ解は無い。

…としていたのですが、元々二次関数=0の式を解いたときには、
解は二つ得られるといわれていたので、
判別式が負の時にも解が二つ存在することにしたのです。

それで、√(-1)≡iとする、虚数が考え出されたと聞いています。

回答No.4

noname#182251

「起源」ということですから、「数」の起源を考えてみます。人類の歴史で（これは推察でしかないのですが）当初は６個の林檎、９頭の羊とか、具体的な認識しかなかったのが、次第に抽象化されて行く。当然最初に出て来るのは整数です。整数では現わし切れないものを考えるようになって（一頭の獲物を３人で分ける）分数や小数が、そして分数や小数で表現できない数（こうなると随分高度）があることに気付いて実数が。そして . . . .虚数。
歴史的に考えなくても、幼い子供に「数」を教える時、虚数から始めますか？

お礼

どうもありがとうございます。数学の構造と発見される順序とを混同していたのかと思っています。

回答No.2

ac-sakura

更に言うなら、
「実数」「虚数」という言葉から考えても、
実数が先にあったと考えられます。
「実」と「虚」ですから。

もともと実数しかなかったのなら単に「数」でも良かったはず。
ところが「数」だけでは表現しきれないことがわかったため、新たな「数」が必要となった。

今までの「数」が通常使う数であるから、
（だからこそ先に発見された）
今までのは「実」、新しい方は「虚」である。

文系的な考察をするならこんなところでしょうか？
勝手に話創ってしまいましたが、もともとの経緯を知らないもので。

お礼

言葉の問題ということでしょうか？もう少し考えてみたいと思います．ありがとうございました。

回答No.1

ac-sakura

どうして虚数から実数が出てくるのが自然に思えるのか説明して欲しいですね。私にはわからないので。

実数で表せない数が見つかったから虚数という表現方法を考え出したんじゃないでしょうか？
普通に考えれば。