通分がすばやく出来る方法は？

質問

分数の通分が苦手です。特に、数字が大きくなると、どんな数で割って良いのか全く見当がつかないことが多く、困っています。

例えば、3091/9999（→281/909）、19854/9900（→1103/550）など。45/111（→15/37）といった簡単な数でも、111がまさか３で割れるとは思いつきませんでした（１の位が３の倍数という思い込みがあったので）。

こういったことをすぐに見分けるコツを私は知らないのでしょうか？それとも、単に経験を積んでいけばすぐにわかるようになるのでしょうか？

回答No.10

noname#231526 · ベストアンサー

既に多数の回答が付いているので今さらですが……。
◎２の倍数、３の倍数、５の倍数、９の倍数の見分け方は必須です。
２に倍数は簡単ですね。１の位が偶数。
３の倍数は、各桁を足して３の倍数。
５の倍数は、１の位が０か５。
９の倍数は、各桁を足して９の倍数。

　後は、分母か分子が素因数分解できれば手掛かりになります。
　その後は、７、１１、１３、１７、１９当たりをチェック。それでもだめなら互除法ということになります。
　では、お書きになった例でやってみましょう。

●3091/9999
　分子3091は、２・３・５・９の倍数ではありません。
　分母は 9999 ですから、これは９の倍数です。
　９で割ってみると 1111 となります。9999 = 9 × 1111 と分解したことになります。
　1111 は、２・３・５・９の倍数ではありませんが、見るからに 11 の倍数です。見て 11 の倍数と分かりますか？？
　1111 = 11 × 101 となります。
　結局 9999 = 9 × 11 × 101 となりました。
　101 が分解できるかどうかは置いておいて（実は 11×11 = 121 で、これより小さいので、後は7の倍数かをチェックするだけです→おまけ２を参照）、もし約分できるとすれば、分子が 9 か 11 か 101 で割れるはずです。
　分子は、９の倍数ではないことは明らかですから、11 を試してみます。これは実際に割ってみます。 3091 ÷ 11 = 281 おお、あまりが出ずに、ぴたりと割れました。3091 = 11 × 281
これで、分子・分母を 11 で割って、3091 / 9999 = 281 / 909 となりました。分子は、９でも101でも割れません。残っていた７で念のため割ってみますが、割れませんのでこれで終りです。（これで終りという確実な確認は互除法が簡単で、909 - 281×3 = 66。281 - 66 × 4 = 17。66 ÷ 17×3 = 15。17 - 15 = 2。15 - 2×7 = 1。つまり互いに素。おまけ１を参照）。

●19854 / 9900
　これは分母はパッと見ただけで、９で割れますね。19854 は 1+9+8+5+4 = 27。2+7 = 9。で９の倍数です。とりあえず、分子・分母を９で割ります。
　2206 / 1100
　ああ、そうそう、分子・分母とも偶数ですから、２で約分できましたね。
　1103 / 550
　分子はちょっと何の倍数か分かりません。分母は 55×10 ですから、5×11×2×5 = 2×5×5×11 と素因数分解できます。分子は２の倍数でも５の倍数でもないのは明らかですから、11で割れるか試してみます。割れません。なのでこれでお終い。

●45/111
　4+5 = 9。1+1+1 = 3。ですから分子は９の倍数、分母は３の倍数です。
　とりあえず、３で割ってみましょう。
　15/37。37は素数ですからこれでお終い。

◎おまけ１
　最初の例を互除法で約数を見つけてみましょう。
　9999÷3091=3 あまり726
　3091÷726=4 あまり187
　726÷187=3あまり165
　187÷165=1 あまり22
　165÷22=7 あまり11
　22÷11=2 あまり0 …ここであまりが０になりました。ここの割る数11が最大公約数です。
　よって分子=3091÷11=281
　分母=9999÷11=909。

　この方法で、あまりが０になったときの割る数が１ならば、約分できません。

◎おまけ２
　約数を探すとき、その数のルートを取った数以下の素数だけを探せば十分です。上記では101の素因数を探すとき、10×10=100、11×11=121 だから、11より小さい素数だけを考えればよいのです。2,3,5 は違うのは「一目」で分かりますから 7 で割れないか試してみます。101÷7=14あまり3で割れないので、101は素数ということになります。

お礼

丁寧な回答を有難う御座いました。計算の得意な人の思考方法をシミュレートしたような気分になって、楽しくなりました。

回答No.11

Ama430

「問題が悪い」に１票。

大きな数同士の約分方法については、すでに回答されていますね。

ちなみに、素因数の多い数の最大公約数を求めるときには、

２）＿３６＿９０＿＿
３）＿１８＿４５＿＿
３）＿＿６＿１５＿＿
１）＿＿２＿＿５　　　

　→２×３×３＝１８　が　３６　と　９０　の最大公約数　　　　　

のような書き方がありますので参考にしてください。

見た目がちがう分数が同じかどうかを調べるのが約分の最初の目的です。
今は、電卓やＰＣの普及した時代です。
質問に出てくるような分数の処理は、小数化して行うのが自然です。
誤差が問題にならないケタまで求めることが簡単であれば、ほとんど問題にならないと思います。

計算の原理を忘れない程度の手動計算は重要だと思いますが、明らかにその水準をこえています。
もっと実用的な内容を勉強する必要があるという意見です。

お礼

有難う御座いました。

回答No.9

yanasawa

素因数分解に似ていなくもないですが、小さい数で割ってみると言うことが最善でしょう。
　なぜかというと、加減の世界は小さい数を足したり引いたりしてもたいした変化はないですが、乗除の世界では大きな変化です。割れた結果、商が小さくなれば、小さい数なら今度は見ただけでいくつで割れるか想像がつきやすくなります。

お礼

有難う御座いました。

回答No.8

ojisan7

分母の整数の最小公倍数が共通の分母になりますね。最小公倍数を見つけるには、分母の整数を素因数分解すれば容易に求めることができるでしょう。しかし、数字が大きくなると、約数を見つけるのが困難です。（２の倍数、３の倍数、５の倍数、９の倍数などは簡単ですが・・・）こういう場合には、ユーグリッドの互助法を使って最大公約数を求めます。最大公約数が求まれば、最小公倍数を求めることは容易です。御存知のようにユーグリッドのアルゴリズムは有限回の手続きで終了します。これが、通分の最も一般的な方法です。

お礼

有難う御座いました。

補足

せっかく答えていただいたのに申し訳ありません。私の勘違いで、約分という意味で通分と書いていました。

回答No.7

ap10

慣れに基づくカンですね
あとは、分母分子で数字の少ない方から、使えそうな数字を見出す事かな

ちなみにテストであれば問題範囲みたいなのがあって、約分に使われる数字の上限が大雑把に決まっているので、そこまでの素数を全て当てはめて勝負かな・・・

にしても、3091/9999 は酷い
こんなの出すのは、問題作った奴の方が悪いよ
どうせ配点は低いだろうし、ここで時間食うぐらいだったら捨てた方が得策
宿題であれば諦めて電卓使った方がまし

ちなみに電卓使用可？
使用可能であれば、ギリギリセーフのような・・・

お礼

有難う御座いました。

補足

11ならまだしも、恐ろしく大きい素数がありますからね（なにしろ無限ですから）。

＞宿題であれば諦めて電卓使った方がまし

電卓に頼っていると電卓無しで計算できない脳になってしまうので、なるべく自力で計算しようと思ってます。

回答No.6

noname#165598

＞19854/9900（→1103/550）など

偶数はいつも割り切れる。・・・２

＞45/111（→15/37）といった簡単な数でも、111がまさか３で割れるとは思いつきませんでした

45がまだ割れそうで怪しい。・・・３で割れそうな気がする。

＞3091/9999（→281/909

これは気付かないな。

＞こういったことをすぐに見分けるコツ

他の回答の通りでしょう。ただし、可能性として見つけられるのであって、必ず見つけられるものではない。。。かなあ

＞それとも、単に経験を積んでいけばすぐにわかるようになるのでしょうか？

そのとおりでしょう。自分で答えを見つけ出す。これが数学の「面白さ」なのだと思います。

お礼

有難う御座いました。

補足

＞自分で答えを見つけ出す。これが数学の「面白さ」

確かに。でも、約分のような初歩の初歩の操作でこんな調子では、面白くないです（笑）。

回答No.5

neKo_deux

真面目にやるには、素因数分解するしかないです。
２で割ってみて、３で割ってみて、５で割ってみて…を繰り返すしかない。

Excelなら、最大公約数を一発で求められます。
=GCD(3091,9999)→11
が得られますので、分子と分母をそれぞれ11で割りますが。

お礼

有難う御座いました。

回答No.4

ccyuki

約分ですよね。あんまりないですねえ。
特に初めの　3091/9999　は11の倍数ですから見つけるのは誰でも時間がかかりますよ。
　当たり前のを含めて少し書いてみます。
２の倍数：偶数（笑）
３の倍数：全部足した数が３で割り切れる。たとえば書いてある111は　　　　1+1+1=3　となって３は３で割り切れるので111も３で割り切れます。
４の倍数：下の二桁が４で割り切れるか　00
　　たとえば　112344　とか　12300　とか
５の倍数：１の位が　0　か　5
９の倍数：全部足した数が９で割り切れる。
　　　たとえば　1234566　は　1+2+3+4+5+6+6=27　で27は９で割り切れる　　　ので1234566も９で割り切れます。

お礼

有難う御座いました。

補足

あ！そうでした、通分でなく約分です。間違いを指摘して下さり有難う御座いました。

回答No.3

zousan1701

３の倍数の見分け方を知っていると、素早くはありませんが
２や５の倍数（これは簡単に見分けられますね）と組み合わせて
地道に約分していくのに役立つと思います。
他にも７や11の倍数の見分け方などもありますが。

【３の倍数の見分け方】
構成数字を全部足すと３の倍数になる。
例：111→1+1+1=3　　1131→1+1+3+1=6　どちらも３の倍数

お礼

有難う御座いました。

回答No.2

siddhaartha

こういったことをすぐに見分けるコツはちょっと分からないですけど、
３の倍数の見分け方は、各位を足して、それが３の倍数であれば
３で割れるということです。

例えば、ご質問の１１１は１＋１＋１＝３なので３で割れると分かります。
色々な数で確かめてみてください。証明方法は～・・・どなたかお願いします＾＾；

お礼

有難う御座いました。

回答No.1

NIWAKA_0

各桁の数字を足して３の倍数になる数は、３の倍数です。

例）
１１１→１＋１＋１＝３
３は３の倍数なので、１１１も３の倍数。

２３８６８→２＋３＋８＋６＋８＝２７→２＋７＝９
９は３の倍数なので、２３８６８も３の倍数。

同様に９の倍数になる数は、９の倍数です。

とはいえ、地道で、それゆえにいつでも適用できるのは
「素数（２，３，５，７、・・・）で順に、分子と分母を割っていく」だと思います。

お礼

有難う御座いました。

補足

各桁の数字を足した数とその数がそんな関係になるとは全く知りませんでした。こういったことを知るのは非常に面白く、便利ですね。