行列の消去法（大学受験）

質問

現在、「行列」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。宜しくお願いいたします。

問題は
連立一次方程式
kx + y = 1 + k^2
x - ky = 1 + k^2
を消去法でとけです。

解答は、
１． 第一行と第二行をいれかえる
２． 第一行のーk倍を第二行に加える
３． 第二行を1+k^2で割る
４． 第二行のk倍を第一行に加える
答え、x=1+k, y=1-k
です。

私は、この消去法というのがよくわかりません。
・ある行に0でない定数をかける
・ある行に他の行の何倍かを加える
・２つの行を入れ換える
の三つの操作を行について行う、とあるのですが、いまいちよくわかりません。

解答のとおりに変形していくと、確かに答えはでるのですが、
どうして、そのような変形を行うのかわかりません。
目的はなにでしょうか。どういうところに注意して変形を行うのでしょうか。

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

線形代数までいくと一般の行列になるので
本質が隠れてしまいますね

さて・・・消去法，いわゆる行列の基本変形ですが，
これは中学校でいうところの
「連立方程式の加減法」
そのものです．
そういう観点で基本変形をながめると
以下のようになります

＞ある行に0でない定数をかける
分母や小数の消去でよくやります．

＞ある行に他の行の何倍かを加える
文字を一個消すために，係数を揃えて
引き算とか足し算しますよね．
＃前の「0でない定数をかける」と組み合わせれば
＃よくやる「(1)*2 - (2)*3」のような計算そのものです

>２つの行を入れ換える
連立方程式の各式をどんな順番で書いたって同じですよね
ぶっちゃけた話「見やすくする」ために行われます．

基本変形で連立方程式をとくというのは
連立方程式の係数だけに注目して

1 0 (何か)
0 1 (何か)

という形に変形することで，変形の結果
一番右にでてきた「何か」が答えになっているということです．

行列というのは「一次連立方程式」の拡張です．
したがって，あんまり構えなくてもいいわけで，
基本変形というのは
「一次連立方程式の加減法」の
一般化にすぎません．
このように加減法を「三つの操作」に整理しておけば，
もっと文字の個数が増えたときでも
係数だけに注目して楽に処理できるのです．

＃実はもうちょっと深い意味がありますが
＃それは大学一年生の数学で習うでしょう，たぶん．

お礼

ご回答ありがとうございます。
私も行列を使わない方法だともちろんわかるのですが、実際にこの方法でやると、一箇所をあわせると、他があわなくなり、そこをあわせると、他が合わなくなり。。。となってしまいました。

回答No.3

larme001

消去法というのは厳密には大学受験の範囲でない気もしますので、分かりにくければそんなもの飛ばして結構です。それよりも質問の問題なら、行列式で表して、逆行列から求めるような方法をマスターすることのほうが大切です。逆行列が出ない（det=0)の場合に二式がどのような関係にあるのか？といったことをキチンと理解しておくことのほうが受験では必要です。

消去法というのは、ガウスの消去法あるいは掃き出し法というようなもののことだと思いますが、2x2行列でこれをやる意味はあんましないような気がします。細かいことを言うと、一般的に連立方程式を解いているときにある式と別の式を式ごとたし足り引いたりすることです。

数学のカテでこんなことをいうのは良くないかもしれませんが、受験勉強なら使えなさそうな問題は時間の関係上うまく選択して飛ばすなり捨てるなりして勉強することも大切です。その分よく出る部分は迷わずに出来るぐらいの慣れを鍛えてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
あまりでないのですか。そういう判断ができないので、順番にやってたのですが。。。ありがとうございます。

回答No.1

rtz

問題集ならともかく、参考書なら事前に例題など載っていませんか？
これは基本事項なので大体載ってると思うのですが。
教科書なども持っていらっしゃいませんか？

本屋さんに行って"行列"とか"線形代数"の本の始めの方を読むのもいいかもしれません。

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/03lneqn/020mtx.html
や
http://ysserve.int-univ.com/Lecture/linear/node16.html
なども参考にしてみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
これは例題なのです。