指数関数の両辺の対数をとる・・・の意味

質問

高校数学IIの分野の指数関数、対数関数に関する質問をします。

よく問題の解説中で、指数関数の「両辺の対数をとって…」という表示があり、式変形をしていますが、この意味はどういうことなのでしょうか？

　例えば、１次方程式の両辺の対数をとっても方程式は成立するのでしょうか、それとも両辺の対数をとることができるのは指数関数だけなのでしょうか？

　例えば　(1)[指数関数の逆関数を作る]　(2)[指数関数の両辺の対数をとる]　←(1)と(2)は同じ結果が表示されると思いますが、どのように関連しているのでしょうか？

　以上、対数という概念を理解したいので質問します。なにか意見があれば、よろしくお願いします。

回答No.5

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

＞指数関数の「両辺の対数をとって…」という表示があり、式変形をしていますが、この意味はどういうことなのでしょうか？

通常、式変形の１つだけを取り出しても、意味ははっきりしないと思います。
例えば２次関数の平方完成では、１つ１つの式変形の意味というよりは、
最終的に平方完成された式に意味があるのではないかと思うのです。

そういった意味で、「log をとる」のはどういった場合かを考えてみますと、
・微分するとき（対数微分法と言います）
・積分するとき（区分求積法と言います）
・積を和に直すとき（例えば相加・相乗平均の証明など）
こういった目的の下、「log を取りに行く」訳です。
（1次関数の log をとるのはないと思います。
なぜならば log をとったほうが、より複雑になってしまうからです）

log というのはどういう性質があるかと言うと、
「指数のみに着目する」ということになります。

昔、天文学者が距離を測るのに、桁数だけ分かれば良いと思っていたので、
桁数だけ分かるようにしたものが対数です。（実際には先頭の数字とかも分かるが）
例えば地球から2000000000kmか2200000000kmかはあまり変わらないなあと
言う感覚です。（どちらも大きすぎる）
収入を言うときに「あの人は8桁だよ」「いや9桁だよ」なんていうのと同じです。

＞対数という概念を理解したいので、なにか意見があれば、よろしくお願いします。
数２の三角関数、指数・対数関数というのは数３への準備と言う側面があり、
数３は大学数学の準備という側面があります。
変数を複素数にとると、指数関数と対数関数は逆関数ではありません。
是非「複素解析」を勉強してください。稲妻に打たれたような感じになるでしょう。
あまりの面白さに、「生きてて良かった」、いや、「生まれてきてよかった」
とさえ思えるかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。

＞そういった意味で、「log をとる」のはどういった場合かを考えてみますと、
＞・微分するとき（対数微分法と言います）
＞・積分するとき（区分求積法と言います）
＞・積を和に直すとき（例えば相加・相乗平均の証明など）
＞こういった目的の下、「log を取りに行く」訳です

ありがとうございます。多分数３でしょうね。

＞log というのはどういう性質があるかと言うと、
＞「指数のみに着目する」ということになります。

＞数２の三角関数、指数・対数関数というのは数３への準備と言う側面＞があり、数３は大学数学の準備という側面があります。

＞是非「複素解析」を勉強してください。稲妻に打たれたような感じになるでしょう。
＞あまりの面白さに、「生きてて良かった」、いや、「生まれてきてよかった」とさえ思えるかもしれません。

ありがとうございます。参考にさせていただきます。

回答No.8

toranekosan222

#３　以降の方々、補完していただいてありがとうございます。

e^a=e^bの変形に関して。
両辺にe^(-b)をかける。
e^(a)e^(-b)=e^(b)e^(-b)
e^(a-b)=e^(b-b)
e^(a-b)=e^(0)=1
という過程を踏んでいます。この演算方法はおそらく教科書に乗っていることなのでちゃんとできるようにしてください。乗ってなかったらちょっとやばいなぁ…どうなっているんだ？今時の高校数学？？

これは
a=b
a*1/b=b/b=1
a/b=1
とやっているのと同じです。これは多分中学校でならったと思います。
これと指数関数の計算法則を絡めると上のように計算できます。
それとも、指数関数の、この演算の方法すら高校数学からはずれちゃったんでしょうか？(^^;)　うーん、なんか昨今の高校生が可哀想になってきたぞ。

(-1)^a=(-1)^bという式があります。。にかんして。
まず、(-1)を二回掛け算するとどうなりますか？
(-1)を３回掛け算すると？
これを考えたことないと全く意味が分からないかもしれません。
(-1)*(-1)=(-1)^2
とかけるのは分かりますか?
この様にかけるということは、(-1)^(a)というようにかけるという
事に拡張できます。ちょうど2*2=2^2とかけるから、2^aとかけるだろうというように。

で、負の数を偶数回掛け算すると正になりますね？（中学校でやったと思う。やってなかったら、文部省を怨んでくれいな。海外だったら多分、中学校くらいの年で習うよ…。）
http://okwave.jp/qa2432786.html　（一応中学校でならっているようです。）

つまり、
(-1)^(a-b)=1
と式変形が出来たら（上のeを-1としただけ。両辺から引き算をしているのではなくて、割り算をしているわけですよ。）
-1を偶数回掛け算をしないと１にはならないのだから、
a-b=2n (nは整数）　という整数が存在するはずである

という意味でした。

上の事は、対数関数を定義する時には底が正である必要があるという事と密接に関係します。

対数に興味があるようですが、指数関数の演算法則をマスターする必要があります。

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku2/sistais/sisukan3/sisukan3.htm
http://www14.plala.or.jp/phys/tools/3.html
http://ab.sinryow.net/lesson/shisu.html

もし指数関数の演算方法が教科書に乗っていないのなら、参考書をてにされたほうが良いと思います。

指数関数の演算例

e^(a-b)=c
e^(a)*e^(-b)=c
e^a(a)/e^(b)=c
e^(a)=c*e^(b)

e^(-a)=1/e^(a)
e^(a+b)=e^(a)*e^(b)

お礼

回答ありがとうございます。
参考書を読んでいたら、
ｍ√（－a）[ｍ乗根ルートマイナスa]＝－ｍ√a[マイナスｍ乗根ルートa]　　　「ｍは正の奇数」　　＜←正の偶数なら虚数単位（i）になる＞
という公式がありました。これに対応する概念なのでしょうか？今後の課題とさせていただきます。

補足

回答ありがとうございます。

＞(-1)^a=(-1)^b　→　(-1)^(a-b)=1　→　a-b=2n (nは整数）

↑（a,b）＝（偶数、偶数）、（奇数、奇数）ということだと思います。
　ところで、これがどうして、対数関数を定義する時の底が正であることと密接に関係するのでしょうか？
　再度質問いたします。よろしくお願いします。

回答No.7

abyss-sym

ANo.2のお礼にある質問に対して
＞感想１：e^a=e^b →　e^a-e^b=0 →　？？？　→　e^(a-b)=1
＞上記？？？の部分がわかりませんが、下に示してあるように両辺の対　数をとって式変形したのでしょうね。
【変形例】
　e^a=e^b 両辺の自然対数をとると loge^a=loge^b すなわち a=b よって a-b=0
　a-bと0が等しいのでe^(a-b)とe^0も等しいです。
　したがって、e^(a-b)=e^0=1 となります。

＞質問１
　高校数学の範囲では、真数＞０は覚えておけば良いものだと思います。
　ましてや証明なんて出てくるはずがありません。

＞質問２
　exp(ix)=cos(x)+isin(x) も、高校では出てこないでしょう。これは、大学で出てくるテイラー展開を使ったものです

補足

回答ありがとうございます。
No.2に立ち返ると

＞(-1)^a=(-1)^bという式があります。。
これは通常の範疇ではeではあらわせません。
(-1)^(a-b)=1=(-1)^0と変形できます。
上と同じように考えられるでしょうか？？？
(-1)は偶数回かけて始めて１となります。
a-bは偶数回である。
つまり整数をnとすると、
a-b=2n
という事になりますね。

＞これが対数をとるときに負は許さないという原因になります。基底が負だと単純に比べることが不可能だからです。

↑やはり意味がわかりません。
確かに対数の定義で、底と真数は共に＞０であり、かつ、底≠１となっていますね。大切な事だと思いますので、説明していただけるとありがたいです。

回答No.6

nanashisan_

指数関数であるかどうか関係ありません。これは等式の性質です。

たとえば、5=5。
対数をとってlog5=log5、当たり前ですね。

次に、(難しい式A)=(難しい式B)。
式の値は何であるか分かりませんが、等号で結ばれている以上両辺を計算した結果の値は同じです。
同じ値のlogをとったのですから、当然log(難しい式A)=log(難しい式B)です。

お礼

回答ありがとうございます。
回答者様がおしゃっていることはそのとおりだと思います。
形が定型的で、結果が同じであるということですね。

「log(難しい式A)=log(難しい式B)」につきましては、
「log＊(難しい式A)=log＊(難しい式B)」≠、「log(難しい式A)=log(難しい式B)」であるので、その意味合いを確認したいと思っています。

追伸：No.2のお礼の中で、「恒等式」と表示しましたが「等式」の間違いですね。この場をお借りして訂正いたします。

補足

回答ありがとうございます。

両辺の対数を取る　→　両辺を同じ関数（log）で変換する　→　関数logを計算する　→　対数の定義となる

ということですね。

回答No.4

tarame

＞(1)[指数関数の逆関数を作る]　(2)[指数関数の両辺の対数をとる]
＞←(1)と(2)は同じ結果が表示されると思いますが、
(1)と(2)は、違います。
指数関数ｙ＝ａ^x　について
(1)の結果は、ｙ＝log[a]ｘ
(2)の結果は、log[a]ｙ＝ｘ　です。

(1)では、ｙはｘの対数関数ですが
(2)では、ｙはｘの指数関数のままです。

補足

回答ありがとうございます。

勘違いしていました。
ｙ＝a^x →　ｘ＝log[a]ｙは逆関数とはいわないのですね。（多分対数の定義というのでしょうか？）
逆関数とはｘとｙを入れ替えることなので、ｙ＝a^x なら逆関数はｘ＝a^y　ということですね。

ということで、ｙ＝a^xについて
(1)[指数関数の逆関数を作る]とは、 ｘ＝a^y　ということですね。
(2)[指数関数の両辺の対数をとる]とは、log[a]y=log[a]a^x=x*log[a]a=x
ということで、べつのものなのですね。

質問の間違い：[指数関数の逆関数を作る]と[対数の定義]とは別のものである　　…　この場をお借りして訂正いたします。

質問の訂正：(1)[指数を対数に変換する定義]　
　　　　　　(2)[指数関数の両辺の対数をとる]

↑(1)と(2)は同じ結果が表示されると思いますが、…

回答No.3

abyss-sym

＞回答中にあります「exp」と「ln」の記号の意味を教えてください。
exp(a)=e^a の意味です。
たとえば、e^(ax-3y^2) などの数は細かくなって書きにくいので、exp(ax-3y^2)と書きます。大学出でできます。

ln(a)=log(e)a の意味です。eは底です。

＞対数の基底をeとした場合は、常用対数との違いはでてくるのでしょうか？
違いはないと思いますよ。

お礼

回答ありがとうございます。
No.2でさらに質問させていただきました。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

toranekosan222

対数の基底をeとしてお話を進めますね。

exp(a)=exp(b)という式があります。
exp(a-b)=1=exp(0) と変形できます。

そこで決まりごととして、基底が同じであれば、肩は同じ数と。
そうして始めてa-b=0という式が導き出せます。

(-1)^a=(-1)^bという式があります。。
これは通常の範疇ではeではあらわせません。
(-1)^(a-b)=1=(-1)^0と変形できます。
上と同じように考えられるでしょうか？？？
(-1)は偶数回かけて始めて１となります。
a-bは偶数回である。
つまり整数をnとすると、
a-b=2n
という事になりますね。

これが対数をとるときに負は許さないという原因になります。基底が負だと単純に比べることが不可能だからです。

で、(1)と(2)に関して。
指数関数の逆数を作る事が、対数の定義だと思った方が良いです。
(2)の指数関数の両辺の対数を取る事と上でやったように右辺を1とすることは同じ事です。
exp(a)=exp(b)
ln (exp(a))=ln(exp(b))
ln(exp(a))-ln(exp(b))=0=ln(exp(0))
ln(exp(a)exp(-b))=ln(exp(0))
ln(exp(a-b))=ln(exp(0))
a-b=0

exp(a-b)=y=1 ln(y)=a-b=ln(1)=0

さらに進むならば
exp(ix)=cos(x)+isin(x)
を勉強すると、虚数を導入することで、負の数でも対数を取ることが可能になります。しかし、負の数の対数は上で見たように整数が存在する数だけバリエーションがあるので、方程式をとこうとすると無限個の解が発生します。

お礼

No3回答ありがとうございます。
＞exp(a)=exp(b)という式があります。
＞exp(a-b)=1=exp(0) と変形できます

感想１：e^a=e^b →　e^a-e^b=0 →　？？？　→　e^(a-b)=1

上記？？？の部分がわかりませんが、下に示してあるように両辺の対数をとって式変形したのでしょうね。

＞(-1)^a=(-1)^bという式があります。。
＞これは通常の範疇ではeではあらわせません。
＞(-1)^(a-b)=1=(-1)^0と変形できます。
＞上と同じように考えられるでしょうか？？？
＞(-1)は偶数回かけて始めて１となります。
＞a-bは偶数回である。
＞つまり整数をnとすると、
＞a-b=2n
＞という事になりますね。

＞これが対数をとるときに負は許さないという原因になります。基底が＞負だと単純に比べることが不可能だからです。

質問１：上記部分がまったくわかりません。多分真数＞０であることの証明なのかなと思いますが、だとしたら大切なことなので、もう少し詳しく説明していただけるとありがたいです。

＞さらに進むならば
＞exp(ix)=cos(x)+isin(x)

質問２：上記恒等式は高校数学でしょうか？

いろいろ書きましたが、特に高校数学の範囲については何とかしたいものですから、解説をよろしくお願いしたいと思います。

補足

回答ありがとうございます。

・回答中にあります「exp」と「ln」の記号の意味を教えてください。
・対数の基底をeとした場合は、常用対数との違いはでてくるのでしょうか？

回答No.1

noname#43576

意識したことないので、自身がありませんが。経験的には、

＞よく問題の解説中で、指数関数の「両辺の対数をとって…」という表示があり、式変形をしていますが、この意味はどういうことなのでしょうか？

数学的な意味はないと思います。強いて言えば、計算上の工夫でしょうか。私が大学受験の時に教えてもらっていた高校の先生で両辺の対数をとるのは、次の２パターンぐらいだと教わりました。

１．変数の変数乗の形で表わされる関数を微分するとき。
２.積を和の形にしたいとき。

２はハイレベルの受験問題での極限値（数IIIの範囲）を求めたりする問題で見かけたりします。あとは計算しやすくするためにわざと対数をとったり。

＞例えば、１次方程式の両辺の対数をとっても方程式は成立するのでしょうか、それとも両辺の対数をとることができるのは指数関数だけなのでしょうか？

取れまし、成立しますが、必ずしもとれるわけではないです。対数関数の条件の一つとして、真数は常に正でなければなりません。なので

x+1=1/2x+1の両辺にたとえば対数をとろうと思うならばx>-1という条件もないととれません。ですが、通常は一次方程式の両辺に対数をとることにあまり意味がないです。

＞(1)[指数関数の逆関数を作る]　(2)[指数関数の両辺の対数をとる]　←(1)と(2)は同じ結果が表示されると思いますが、どのように関連しているのでしょうか？

数学専門ではないので、詳しいことはわかりませんが、同じことではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
＞１．変数の変数乗の形で表わされる関数を微分するとき。
＞２.積を和の形にしたいとき。

↑数IIIの話が多いのですね。次回の課題としておきます。