6-20 高校数学の確率です 至急宜しくです!!!

質問

ある電話局館内の電話の通話時間(分)は確率変数Xで表され、その確率密度関数f(x)は
f(x)=ae^(-x/3)(0<=x<=180,aは定数)
0 (x>=180)

である　一方通話料は3(n-1)<=x<3n(nは自然数)の通話時間に対して10n円である

(1)定数aの値を求めよ
(2)1回の通話時間の平均値を求めよ
(3)1回の通話料の平均値を求めよ

解説　(1)P(0<=X<180)=∫[0→180]ae^(-x/3)dx=a[-3e^(-x/3)](0→180)

=-3a(e^(-60)-1)　これが1であるから　a=1/3(1-e^(-60))

(2)E(X)=∫[0→180]xae^(-x/3)dx

=a[x(-3e^(-x/3)](0→180)+3∫[0→180]ae^(-x/3)dx

=-540ae^(-60)+3・１=3{1-61e^(-60)}/{1-e^(-60)} (≒3)

解説にP(s<=X<=t)=∫[s→t]f(x)dxとありますが、この式始めてみたのですが、これって確率に定義域みたいなのがある時は積分すれば全部求まるって意味ですか？

(1)で確率密度関数f(x)とありますが、これは何のことなのですか？確率に定義域とかあって何を意味しているのか良く分かりません、又これを求めようとして

P(0<=X<=180)=-3a(e^(-60)-1)まで求めてこれが1になるとあるのですが、1になるというのはどこに書いてあるんですか？何で1になるのか分からないです

(2)は1回の通話時間の平均値がE(X)=∫[0→180]x・ae^(-x/3)dxで求めているのですが、何故1回の通話時間の平均値がこの式で出ることになるのか分からないです

(3)は通話料の平均値が10n円である確率が∫[3(n-1)→3n]ae^(-x/3)dxで出しているのですが
この式で通話料の平均値が10n円である確率が求まるのが何故なのか分からないです

その下の平均値もΣ[k=1→60]10n・3a(e^(-n+1)-e^(-n))で求まるのが何故なのか分からないです

回答No.1

thetas · ベストアンサー

＞＞解説にP(s<=X<=t)=∫[s→t]f(x)dxとありますが、この式始めてみたのですが、
＞＞これって確率に定義域みたいなのがある時は積分すれば全部求まるって意味ですか？

＞＞(1)で確率密度関数f(x)とありますが、これは何のことなのですか？確率に定義域と
＞＞かあって何を意味しているのか良く分かりません、又これを求めようとして

解説の定積分を見たことがなかったということであれば、確率密度関数について調べ直し
てみてはいかがでしょうか。
以下、確率密度関数に関してのちょっとした説明をします。

まず、確率密度関数が出てくるのは、例えば、待ち時間の確率を考えるような「連続的な値」を用いるときです。
それは、「サイコロを１個ふって出る目」は、１、２，３，４、５、６、の６種類の数字しかとりません。一方で、「友人にメールを送って返信がくるまでの時間」を考えると、正の数全体が可能性としてあります。また、ちょうど３分後の確率、というのは、現実的にはありえません。というのも、３分１秒や２分59秒、さらには、３分０.01秒も「３分後」では、ありません。そのため、３分～３分１秒の間にくる確率、というように範囲を考えます。

とりあえず、ここでの説明は終わることにします。
あとは、「確率密度関数」について、何なのかを調べてみてください。
そうすれば、以下の質問についても、疑問が解決するかもしれません。

お礼

御返答有難うございます

補足

つまり確率密度関数と言うのはメールを送って1分から3分後に返信が帰ってくる確率みたいな、サイコロみたいにジャストミートに1が出る確率みたいに点でなく範囲になってる場合に使う確立ってことですね？f(x)というのは1分から3分みたいな幅のある確立という事ですか？
1分から3分までに帰ってくる確立がf(x)みたいな感じの事ですか？