0＜x＜1 からランダムに数を何個選べば和が１を超えるかの期待値

質問

区間 0＜x＜1 からランダムに数を一つ選ぶという試行を繰り返し，ｎ回目に選んだ数を a[n] とする。
このとき，a[1] + a[2] + … + a[n] が初めて１を超えるようなｎの期待値を求めよ。

もちろん「ランダム」という言葉は適切に定義する必要がありますが，「(0,1)上の一様分布」と考えます。

答えはeらしいのですが、どのようにして求めるのでしょうか?

回答No.1

33550336

「ランダム」という言葉について以下の定義を与えます。

ｓ＜ｘ＜ｔ（ただし、０＜ｓ＜ｔ＜１）なる数ｘを選ぶ確率をｔ－ｓとする

とりあえずこの定義をもとに話を進めます。

ひとつの数を選ぶことにより題意を満たす確率は０です。

ふたつの数を選ぶ場合について考えます。
ひとつめにｔを選んだとき、のこりは１－ｔより大きい数字を選ぶ必要があり、その確率は１－（１－ｔ）＝ｔであるから
二つの数で題意が満たされる確率は
∫[t=0,1]tdt＝1/2

次にみっつの数を選ぶ場合について考えます。
ひとつめに１－ｓを選んだとき、あと２回でｓをこえる必要があります。
その確率は上記と同様に
∫[t=0,s](s-t)dt＝(1/2)s^2
よって三回で題意が満たされる確率は
∫[s=0,1](1/2)s^2＝(1/3!)

以下同様にして、ｎ回目で初めて１を超える確率は1/n!となることがわかります。
よって、求める期待値は
Σ[n=2,∞](1/n!)*n＝ｅとなります。