欠円面積を係数を使用して求める

質問

アドバイスお願い致します。
欠円面積＝係数×a×b　
a：弦中央部での高さ（既知）
b：弦長（既知）

a/b を0.001から0.500まで0.001毎に分け、
それに対応する係数、内角、半径をエクセルを使って表にしたいと思います。
この場合の係数、内角、半径を求める公式をわかりやすくお教えください。

回答No.6

ryn · ベストアンサー

なんどもすみません．
係数についてはただのミスでした．

=(1+1/(4*A1))^2*ASIN(4*A1/(4*A1^2+1))/(4*A1)+1/4-1/(16*A1^2)　……（誤）
ではなくて
=(A1+1/(4*A1))^2*ASIN(4*A1/(4*A1^2+1))/(4*A1)+1/4-1/(16*A1^2)　……（正）
ですね．（最初のところで 1→A1 となっています）

ミスを修正したほうの式で No.4 のお礼欄の数値を再現できました．

まとめると，
　係数 = (A1+1/(4*A1))^2*ASIN(4*A1/(4*A1^2+1))/(4*A1)+1/4-1/(16*A1^2)
　内角 = 2*ASIN(4*A1/(4*A1^2 + 1)) * 180 / PI()
　半径/b = A1/2 + 1/(8*A1)
です．

お礼

ご回答ありがとうございます。これで表を完成できます。本当にありがとうございます。

回答No.5

ryn

とりあえず，内角と半径の表は再現できました．
　内角 = 2*Arcsin(4x/(4x^2 + 1))
　半径 = b*(x/2 + 1/(8x))
のように書きましたが，内角は角度の単位をラジアンから度になおして
　内角 = 2*ASIN(4*A1/(4*A1^2 + 1)) * 180 / PI()
　半径/b = A1/2 + 1/(8*A1)
のような感じで表の数値になります．

> 半径＝r^2×b（？不鮮明）
ですがカッコ内が a/b の関数で無次元になっていると思われるので，
r^2 はミスプリではないでしょうか？
　半径 = b( x/2 + 1/(8x) )
のように b をくくりだして，カッコ内を0.001刻みで表示させると
a/b　　半径/b
0.001　125.001
0.002　62.501
0.003　41.668
0.004　31.252
0.005　25.003
0.006　20.836
0.007　17.861
0.008　15.629
0.009　13.893
0.010　12.505
　：
0.100　1.300
　：
0.500　0.500
のようになったので，合っていると思います．

係数についてはもう少し考えてみます．

回答No.4

ryn

ちょっと見えてきたような気がします．
エクセルを使って表にしたいということから
係数は a/b の関数となっているのではないかと思います．

だとすると，x=a/b として
　内角 = 2*Arcsin(4x/(4x^2 + 1))
　半径 = a*(1/2 + 1/(8x^2)) = b*(x/2 + 1/(8x))
　面積 = ab*{(1+1/(4x))^2 * Arcsin(4x/(4x^2 + 1))/(4x) + 1/4 - 1/(16x^2)}
のようになります．
したがって，係数は
　係数 = (1+1/(4x))^2 * Arcsin(4x/(4x^2 + 1))/(4x) + 1/4 - 1/(16x^2)
です．

No.2 での S の式から強引に ab をくくりだすと
残りの部分は x=a/b のみで書くことが出来る，
といった感じではないでしょうか？
ただし，半径も a/b で表そうとすると
単位が長さなので a か b が残ることになります．

エクセルでこんな記述をしたところ
=(1+1/(4*A1))^2*ASIN(4*A1/(4*A1^2+1))/(4*A1)+1/4-1/(16*A1^2)

0.001　　501.1659989
0.002　　251.1653288
0.003　　167.8313232
0.004　　126.1639820
0.005　　101.1633052
0.006　　84.49595955
0.007　　72.59051645
0.008　　63.66126163
0.009　　56.71613161
0.010　　51.15988829

のようになったのですが，手元にお持ちの表の比べてどうでしょう？
あってそうですか？

お礼

ご回答ありがとうございます。手元の表では、

a/b　　　 係数　　 内角　　 半径＝r^2×b（？不鮮明）
0.001　　 0.6667　 0.458　　125.001
0.002 　　0.6667　 0.917　 62.501
0.003　　 0.6667　 1.375　　 41.668
　 ～　　 ～　　　 ～　　　 ～
0.100　　 0.6720　 45.240　 1.300
　 ～　　　～　　　 ～　　　 ～
0.500　 0.7854　 180.000　 0.500

というような表になっています。きれいに書けずすみません。
お手数をおかけしますが、後一歩お力をお貸しください。

回答No.3

ryn

すみません．

No.2 の回答では2が抜けてました．
　内角 = Arcsin(4ab/(4a^2 + b^2))　……（誤）
　内角 = 2*Arcsin(4ab/(4a^2 + b^2))　……（正）
です．

> 算出根拠がわからず立ち往生しております。
質問者さんがどのくらい知識をお持ちかわからないのでアドバイスしにくいのですが，
sin, cos, Arcsin, Arccos 等は大丈夫ですか？
これらが大丈夫なら半径と内角については No.1 さんのやり方で出てきます．
面積のほうは積分しても出ますが，
今は扇形から三角形を引くというやり方でOKです．

お礼

再度ありがとうございます。最初の説明が不十分で申し訳ありません。
現在a/bに対応する表を使用して、欠円の面積計算を求められています。
sin, cos, tanは何とか理解できるのですが、計算方法指定のため頭を悩ませています。
最初に、根拠不明の表を完成させるために必要な公式を探そうと手元にある簡単な公式集、ネット検索などであたってみたのですがたどり着けなかったため、係数、内角、半径を求める公式を教えて頂きたいと思ったのです。
引き続きアドバイスをお願い致します。

回答No.2

ryn

書いているうちに回答があったので
前半は削除して No.1 さんの続きから

最終的に面積 S を a,b のみで表すと
　S = (1/4)*{(4a^2 + b^2)/(4a)}^2*Arcsin(4ab/(4a^2 + b^2)) + b(4a^2 - b^2)/(16a)
なんてことになってしまいます．

したがって，質問者さんの仰る係数は出せませんが，
　内角 = Arcsin(4ab/(4a^2 + b^2))
　半径 = (4a^2 + b^2)/(8a)
となります．

お礼

ご回答ありがとうございます。参考にさせて頂きます。表のごく一部があるのでそれを手がかりに表を完成させたいのですが、よく読みとれない上算出根拠がわからず立ち往生しております。できるところから表を埋めてみます。引き続きアドバイスお願い致します。

回答No.1

springside

「欠円」とは、弓形のことでしょうか？
であればこんな感じです。

対応する円の半径をr、中心角を2θとする。

cosθ=(r-a)/r
sinθ=b/2r
なので、それぞれ2乗して足すと、
(r-a)^2/r^2 + b^2/4r^2 = 1
となるから、これをrについて解いて、
r=(4a^2+b^2)/8a

すると、
sinθ = 4ab/(4a^2+b^2)となり、
内角は2θなので、
2θ = 2arcsin{4ab/(4a^2+b^2)}

以上で内角と半径は求まります。ただ、面積Sについては、
　S = (1/2)r^2(2θ) - (1/2)r^2sin2θ
　　= r^2θ - r^2sinθcosθ
なので、
　係数×a×b
という形にはならないのでは？

お礼

ご回答ありがとうございます。参考にさせて頂き、できるところから表をつくってみます。引き続きアドバイスお願い致します。