欠円の面積に関する質問になります

質問

欠円の面積の質問になります。

半径R[mm]の円の下からa[mm]の位置に横線Aを引き、欠円Aを作成しました。(面積の小さいほうを考えています。)
この欠円Aの面積の半分の面積を持つ欠円Bは横線Aの高さをa[mm]から何[mm]下げた位置に横線Bを引けば作成できるか？

という質問になります。
今朝から頭を悩ませているのですが、一向に解決しません。
使える変数がRとaのみ、求める値をxにして式を作成するのですが、
どうしてもacosなどが出てきて『x=』の式にすることができません。

回答No.3

info22_

>使える変数がRとaのみ、求める値をxにして式を作成するのですが、

解は存在しますが、xを陽関数x=f(R,a)で表すことは無理ですね。

>どうしてもacosなどが出てきて『x=』の式にすることができません。

その通り、x=…　では表せません。
でも解存在しますので、具体的なR,aの値が与えられれば、
陰関数形式の式g(x,R,a)=0から数値計算でxの値は求めることはできます。
例えば
R=5mm,a=1mmのとき x≒0.3750125mm
となります。

回答No.2

ask-it-aurora

uv-平面に半径Rで原点を中心とする円をかきます．R > l > 0 とし，L = R - l とします（1と l が紛らわしいですが）．このとき円の内部と半平面 v < -L の共通部分，つまり欠円の面積 A(l) を考えます．欠円の部分では v < -L < 0 であることに注意すれば u^2 + v^2 < R^2 から円周上では
v = -sqrt(R^2 - u^2) < -L,
|u| > sqrt(R^2 - L^2)
とわかります．したがって
A(l) = ∫[|u| > sqrt(R^2 - L^2)]du ∫[-sqrt(R^2 - u^2) < v < -L]dv
です．あとは計算するだけですが，概略は次の通り：

∫[|u| > sqrt(R^2 - L^2)]du ∫[-sqrt(R^2 - u^2) < v < -L]dv =
∫[|u| > sqrt(R^2 - L^2)]du (sqrt(R^2 - u^2) - L) =
{∫[|u| > sqrt(R^2 - L^2)]du sqrt(R^2 - u^2)} - 2L sqrt(R^2 - L^2) =
R^2 arcsin[{sqrt(R^2 - L^2)}/R] - 2L sqrt(R^2 - L^2).

一応確認してみましょう． l → 0 としたとき，つまり L → R のとき，A(l) → 0．また l → R としたとき， つまり L → 0 としたとき，A(l) → (πR^2)/2，期待通りです．次元も揃ってます．

さて欠円の面積はわかったのでもんだいは A(a)/2 = A(a - x) となるような x を求めよ，となりました．しかしこんな方程式では厳密解を求めるのは難しそうです．a が十分小さいときに
arcsin(X) ~ X,
sqrt(1 + X) ~ 1 + X/2
などの近似式を使ってもなお x の3次方程式で（コンピュータに解かせてみましたが）ものすごく面倒くさい式が帰ってきます．数値計算なら，なんとかなるかもしれませんが代数的に簡単な表示はないかもしれません．意外と難しかったです．

## 別に問題に解答がない，と言ってるわけではありません．僕の手に余るだけです．他の回答者さんがサラッと解いてくれるかもしれません．

回答No.1

maiko0318

線Aの、円に接する２点から中心に線を引き、扇型から三角形を引けばいいのかな？

補足

質問ありがとうございます。
そのように計算をしようとしています。
他の方針があるようでしたらそちらを教えて頂ければと思います。