円の面積重心です（２）。

質問

またまた、質問させて頂きます。
（前回質問）
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=894635

平面上、
円Ａは中心座標（xa,ya）で半径Ra
円Ｂは中心座標（xb,yb）で半径Rb
です（Ra＞Rb）。
前回は、円Ｂは円Ａの内円の関係でしたが、
今回は。　円Ｂが円Ａと交差します。

今回も円Ａから円Ｂを引いた残りの領域（面積）
の、面積とその重心座標を求めたいのですが、
問題なのは、円Ａが円Ｂによって面積が「欠ける」
事です。　なのでさっぱりわかりません。

今回のは「ヒント＋自分の力」では解けそうも
ありません。　なので、できるだけ詳しくお教え
いただきますように、宜しくお願い致します
。

回答No.2

nabla · ベストアンサー

計算が煩雑になるのが嫌いなので、円Aを単位円とし、さらに円Bの中心もｘ軸上にあるとして解きます。（必要に応じて、一般的な証明に拡張してください）
今円Ｂの中心を(b,0)として半径をr(<1)とすると、円Ｂは次の方程式で与えられる。
(x-b)^2+y^2=r^2
また円Ａは単位円よりx^2+y^2=1となる。
よってその交点のｘ座標は(1+b^2-r^2)/2bとなるので、これをαとおくと、面積は
Sc=2(∫{(b-r)～α}{√(r^2-(x-b)^2)dx}+∫{α～1}{√(1-x^2)dx})で求まります。（割とすごい計算になりますが）
あと重積分については下のサイトを見てください。（重心の求め方も書いてあります）

お礼

御回答ありがとうございます！

下のサイトって？　削除されちゃったのかな？

補足

しばらく結果検証（コンピュータ上）ができそうもありません。　なのでここで締め切らせていただきます。
又、しばらくしたら質問させていただきますので宜しくお願い致します。

回答No.1

nabla

こんちは。前回のは分かりましたか？
今回のは解析的に解いていきましょう。（少なくとも僕では他の方法が思いつかない…）

くりぬいた部分をCとします。
まずはじめに面積の方ですが、こいつは厄介ですね。積分を使うのが無難な線だと思います。
次に面積がScとわかったとします。

さらにここで重積分を使って、Cの重心を求めます。（絶対に点Aと点Bの間に来るという条件が効いてきて、初等的に解けると思うのですが…）

すると、Cの重心が(xc,yc)と分かったとします。
そこで前回同様面密度をρとおいてみましょう。
さらにAの残りの部分、Bの残りの部分の重心をそれぞれ(xa',ya'),(xb',yb')と置きましょう。
すると、前回同様の方法で、４つの連立方程式がたつはずです。あとはそれを解けばおしまいです。

お礼

御回答ありがとうございます。
おかげさまで前回はピンときて解けました。

回答中のＣの面積と（Xc,Yc）が分かる　までが「さっぱりです」。　重積分って何でしたっけ？

三角関数やらベクトルやらで解けちゃえば「今の私でも」解けると思うのですが、勉強やり直さないとダメなのでしょうか？