３次不等式が成り立つようなaの値の範囲（2変数）

質問

aは負でない実数とする。
-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2
を満たすすべての正の実数x,yに対し、x^3-3a^2xy^2＋2y^3≧０が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。

この問題に取り組んでいるのですが、何をやるのかがわからず困っています。
2変数なので「1文字固定」という考え方を使うのかな？と思ったのですが、使い方がよくわからずダメでした。
3次なので判別式（？）も利用できませんでした。
ヒントやアドバイスいただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

＞2変数なので「1文字固定」という考え方を使うのかな？と思ったのですが

見かけは2変数ですが、1変数に還元されます。

y/x＝m　(x＞0、y＞0よりm＞0)‥‥(1)とする。
-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2にy/x＝mを代入すると、3m＾2-10m+3≦0より、1/3≦m≦3‥‥(2)
x^3-3a^2xy^2＋2y^3≧0にy/x＝mを代入すると、x＞0より、f(m)＝2m＾3-3a＾2*m＾2+1≧0が(2)の範囲で常に成立するための負でない実数aの値の範囲を求めると良い。
f´(m)＝6m＾2-6a＾2*m＝6m(m－a＾2)で、a＞0あるから、
(1)a＾2≧3　　(2)3≧a＾2≧1/3　の各々の範囲内でf(m)の最小値≧0である条件を求める。

以下の計算は自分でやってください。

補足

回答ありがとうございます。

＞-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2にy/x＝mを代入すると、3m＾2-10m+3≦0より、1/3≦m≦3‥‥(2)

この部分がわからないのですが、-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2の不等式をどのように計算すればy/xが出てくるのでしょうか？初歩的なことで申し訳ありませんが回答いただければありがたいです

回答No.4

take_5

＞-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2の不等式をどのように計算すればy/xが出てくるのでしょうか？

x＞0、y＞0より分母を払っても同値。
従って、-(x+y)≦2(x-y)≦(x+y)。
これを計算すると、3x-y≧0、and、x-3y≦0、
よって、x/3≦y≦3xであるから、3辺をx(x＞0)で割ると、1/3≦(y/x)≦3。

私は、初めからy/x＝m　即ち　y＝mxとして　-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2　に代入して解いただけです。
でも、上のように推論を進めると、何故初めからy/x＝mと置き換えるのかが分かるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
おかげさまで理解できました！

回答No.3

take_5

後半が少しもたついていますので、シンプルな解法を探してみました。

x^3-3a^2xy^2＋2y^3≧0にy/x＝mを代入すると、x＞0より、f(m)＝2m＾3-3a＾2*m＾2+1≧0‥‥(3)が(2)の範囲で常に成立するための負でない実数aの値の範囲を求めると良い。
(3)を変形すると、3a＾2≦2m＋1/m＾2となる。
f(m)＝2m＋1/m＾2とすると、(2)の範囲でf(m)の最小値≧3a＾2となればよい。
f(m)を微分して(2)の範囲で増減表を書くと、m＝1のときにf(m)の最小値が3であるから、3≧3a＾2となる。
a≧0であるから、求める答えは　0≦a≦1。
但し、計算のチェックをしてみてください。

＞2変数なので「1文字固定」という考え方を使うのかな？と思ったのですが

この方法でも出来ます。

回答No.2

take_5

＞(1)a＾2≧3　　(2)3≧a＾2≧1/3　の各々の範囲内でf(m)の最小値≧0である条件を求める。

抜けてますね。　(3)1/3≧a＾2の場合が。。。。

但し、a＞0に注意してください。
そうすると、a≧√3、√3≧a≧1/√3、1/√3≧a＞0となります。