連分数

質問

中学か高校のときに連分数で、
1/(2+1/(2+1/2+…　―――（※）
と表される数を求めよといった問題が出てきました。当時は何となく解釈して、全体をAとおくとA=1/(2+A)が成り立つからこれを解いて、…と解いたら解説とも合っていて何の疑問も持ちませんでした。
ところが、その後数学を勉強したら「無限に続く数式を安易に数として扱ってはならない」ということを知りました。
確かに、例えばA=1+2+4+8+16+…なんて置いてしまうとA=1+2AなんてことになりA=-1？おや？ということになります。もちろん収束しないものを収束するかのように扱ったことが原因です。
なら（※）を求めるときも収束するかどうかを先に確かめる必要があると思われるのです。と、いうか、そもそも（※）は級数で表されるものなのか？それとも全く別の何か数列の極限？そう考えると数式自体まるで意味不明になってきました。（※）の定義は一体なんなんでしょう？それは何かの極限で収束することが言えるのでしょうか？でなければ全体を文字に置く解答は意味を成してないですよね。ご存知の方、教えてください。

回答No.1

totoro7683 · ベストアンサー

まず連分数を
A=[a_0,a_1,a_2,....]=a_0+1/(a_1+1/(a_2+1/(a_3+
と表します。(a_0,a_1,a_2,....>0)
Aが有理数ならば有限項、無理数ならば無限項になります。
Aをだいn項で打ち切ったものをA_nであらわします。
A_ｎ=[a_0,a_1,a_2,..a_n]=a_0+1/(a_1+...+1/a_n)
Aは数列{A_n}の極限と解釈します。
結局数列{A_n}が収束することを示せばよいわけです。
以下{A_n}が収束することの証明を簡単に紹介します。
まず、不等式
A_0<A_2<A_4<.....<A_5<A_3<A_1　(*)
が簡単な考察により示せます。

ここでp_n,q_nをp_0=a_0,q_0=1,p_1=a_1a_0+1,q_1=a_1, n>1のときは帰納的に
p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2},q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}
と定義します。するとA_n=p_n/q_n が成りたちます。
A_n-A_{n-1}=p_n/q_n-p_{n-1}/q_{n-1}
=(p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n)/q_nq_{n-1}
ここで帰納法を使うとp_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=(-1)^(n-1)　を示せます。
結局　A_n-A_{n-1}=(-1)^{n-1}/q_nq_{n-1}
ここで再び帰納法を使うと、q_n>n(n>2) を示せます。
したがって、A_n-A_{n-1}→0（n→無限大）
上の不等式(*)よりA_0,A_2,A_4,...,とA_1,A_3,...
はそれぞれ上に有界、下に有界ナ単調数列であるから収束する。|A_2n-A_{2n-1}|→0(n→無限大）
であるからはさみうちの原理により、両数列は同一の極限値に収束する。
したがって数列{A_n}は収束します。

途中計算などを端折りましたが、詳しくはハーディ、ライト’数論入門’などをご覧下さい。