線形空間についてです

質問

私がいま使っている教科書に次のような記述がありました。

「実数列の全体は実線形空間である。
ただし{a_n}+{b_n}={a_n+b_n} {ca_n}=c{a_n}と定義する
このうち、収束する数列だけを考えれば、解析学での周知の定理により
ふたたび実線形空間がえられる。」

(1)実数列が実線形空間になるとありますが、証明がわかりません。
実線形空間の公理を一つ一つ確認するのでしょうが、数列ってどこまでも無限に続いていくのに、どうやって示すのですか？（たとえばa(x+y)=ax+ayなど・・）
たしかに公理を満たしそうですが、このような無限につづくものに対しては自明としていいのですか。

(2)収束しない数列だけを考えても実線形空間になるんですよね？
なのにわざわざ収束するものだけを、特別に書いているのはなぜですか？なにか意味（うれしいこと？）があるのでしょうか。
解析学での周知の定理ってのも具体的になにを示しているのか・・。

どなたか解説よろしくお願いします。

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

この文脈で {a_n} って書けば, 普通は「一般項が a_n で表されるような数列」を表します. そして, この数列に対し「和」と「スカラ倍」が与えられていて, それに従うと #4 の補足にあるように書くことができます (1ヶ所おしいけど).
で, 問題になるのは「零ベクトル」{0, 0, ..., 0, ...} です. これは「一般項が a_n = 0 で表される数列」で, これは明らかに収束します. つまり, 「収束しない数列の集合」にはこの零ベクトルが含まれないため, 「線形空間」とはなりません.
そして #2 の補足のところで「矛盾しませんか」って書かれてますが, 一般に「線形空間の部分集合」が部分空間になるとは限りません. だから, 矛盾でもなんでもありません. 実数全体の集合は普通の和と実数倍に関して線形空間をなしますが, その部分集合である {1} は線形空間ではありませんよね.

お礼

回答していただきありがとうございます！助かります。

収束しない数列の集合という舞台設定においては、ゼロ元の存在を言えないから線形空間ではない、、納得しました！

あと、私が矛盾していると発言した箇所もご指摘のあったとおり、矛盾でも何でもないですね。わかりやすい例のおかげで納得できました。

また同じような質問（線形空間に関する質問）をするとおもうので、見かけたらぜひまた回答よろしくお願いします。
本当にありがとうございました。

回答No.4

Tacosan

「収束しない数列」だけを考えたら, 線形空間にはならないです.
例えば
an = n, bn = -n
とおくと {an} も {bn} も収束しないけど, {an+bn} は収束するでしょ?

お礼

いま考えているのは
a_nではなく、｛a_n｝={a_0, a_1, ・・・}という無限に数を並べた集合です。

たしかにa_nという,nであらわされた実数に関して言えば、
Tacosanさんのおっしゃるように
lim(a_n+b_n)=lim(a_n)+lim(b_n)
lim(ka_n)=klim(a_n)などとならない例が存在するので
収束しないものだけを考えると実線形空間にはなりません。
でも、今は{a_n}をかんがえていて、これについては
{a_n+b_n}={a_n}+{b_n}などは定義から導かれますよね？

補足

回答ありがとうございます。

やはりよくわかりません。

｛a_n｝＝{a_0,a_1,a_2,・・・・}が収束とはどうゆうことですか？
a_nと｛a_n｝は違いますよね。

私が思ったことを書きます

I．実数列全体の空間Ｖの二元{a_n}{b_n}に対して、
｛a_n｝+｛b_n｝=｛a_0, a_1,・・・｝+{b_0, b_1,・・・}
＝｛a_0+b_0, a_1+b_1, ・・・｝と定義すると
{a_n}+{b_n}もまた実数列、つまりＶの元であるから、和とよばれる第３の元が定まり、次の性質が成り立つ
(1)（{a_n}+{b_n})+c_n={a_n}+({b_n}+{c_n})
(2){a_n}+{b_n}={b_n}+{a_n}
(3){0}={0,0,0,・・・}とすれば
{a_n}+{0}=｛a_0+0, a_1+0, ・・・｝＝｛a_n｝（零ベクトルの存在）
(4)｛-a_n｝={-a_0, -a_1, ・・・}とすれば
{a_n}+{-a_n}={0,0,0,・・・}＝｛０｝（逆ベクトルの存在）

II.Ｖの任意の元{a_n}と任意の実数kに対し
｛ka_n｝={ka_0, ka_1, ・・・}＝k{a_0, a_1, ・・・}と定義すると
これはＶの元であるから、{a_n}のk倍と呼ばれるもう一つのＶの元k{a_n}が定まり、次の性質が成立する
(5)（k+L）{a_n}=k{a_n}+L{b_n}
(6)k({a_n}+{b_n})=k{a_n}+k{b_n}
(7)(kL){a_n}=k(L{a_n})
(8)1{a_n}={a_n}

上記のすべてが成り立つので、実数列の全体は線形空間だと私は思いました。このIおよびIIのどこで、a_nの収束とか発散が関係するのでしょうか？そこがわかりません。
収束しようが発散しようがI（(1)～(4)）とII（(5)～(8)）は成り立つのではないのですか？

どなたか""この補足に関する""回答よろしくお願いします。
回答者さんによって答えが異なっているのでこのままだと解決しないので。どうかよろしくお願いします

回答No.3

Jyaikosan

＞たとえばa(x+y)=ax+ayなど

a({a_n}+{b_n})=a{a_n+b_n}={a(a_n+b_n)}={a(a_n)+a(b_n)}

={a(a_n)}+{a(b_n)}=a{a_n}+a{b_n}

です。

＞(2)収束しない数列だけを考えても実線形空間になるんですよね？

なりますよ。

＞なにか意味があるのでしょうか。

部分空間だと言いたいのではないでしょうか。

＞解析学での周知の定理

話の流れからすると、収束する二つの数列{a_n}と{b_n}の各項の和
からなる数列{a_n+b_n}も収束するということですね。
「～の定理」という名前があるかどうかは知りません。

お礼

すいません

a({a_n}+{b_n})=a{a_n+b_n}
={a(a_n+b_n) | nは自然数}
={a(a_n)+a(b_n) |nは自然数}
={a・a_0+a・b_o, a・a_1+a・b_1,・・・}
={a・a_0, a・a_1+・・・}+{a・b_0, a・b_1,・・・}
={a(a_n)}+{a(b_n)}=a{a_n}+a{b_n}

ということでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。

a({a_n}+{b_n})=a{a_n+b_n}={a(a_n+b_n)}={a(a_n)+a(b_n)}
={a(a_n)}+{a(b_n)}=a{a_n}+a{b_n}

なんですけど、最初のイコールは定義から良いとしても、二つ目のイコールが理解できません。
｛a_n+b_n｝={a_0+b_0 , a_1+b_1 , a_2+b_2 , ・・・・・}であって
｛a_n+b_n｝=a_n+b_nではないですよね？

あと他の回答者さんによって収束しない数列だけを考えたときに、線形空間となるか、ならないかがはっきりしていないようです・・・。
なぜなるのですか？

回答No.2

motari

記法に問題があったので訂正させてください(汗

lim{a_n}等は全てlim a_nと読み替えてください。

補足

回答ありがとうございます！
とても助かります！！

ですが、すこし質問させてください。
収束列に関しては納得しました。

でも、あの文には一番はじめに

「実数列の全体は実線形空間である」

とありますよね。これは収束とか発散については触れていない。

でも収束しない数列だけを考えると実線形空間でない・・・。

これって矛盾しませんでしょうか？
すいませんが回答よろしくお願いしますm(_ _)

回答No.1

motari

有限なnについては
>ただし{a_n}+{b_n}={a_n+b_n} {ca_n}=c{a_n}と定義する
により、
n→∞については、収束列にたいする
lim{a_n}+lim{b_n}=lim{a_n+b_n}
lim{ca_n}=clim{a_n}
により、線型空間の公理が満たされることがわかります。
これがいわゆるR^∞です。

>(2)収束しない数列だけを考えても実線形空間になるんですよね？
これはなりたちません。
n→∞でのa_nが一意でないと困ります。
極限や無限列のとりあつかいについて復習なさることをおすすめします。