ベクトル 空間座標の問題です。

質問

xyz空間の原点Ｏと、Ｏを中心とし半径１の球面上の異なる４点Ａ，Ｂ，C，Dを考える。
点Ａ(cos(α/2),sin(α/2),0), B(cos(-α/2),sin(-α/2),0), (0<α<π)とする。
点Ｃ，Ｄは∠ＣＯＡ=∠ＣＯＢ=∠ＤＯＡ=∠ＤＯＢを満たし、点Ｃのｚ座標は正、点Ｄのｚ座標は負とする。

(1)点Ｃの座標をαとθ=∠ＣＯＡ(0<θ<π)で表せ。
(2)ベクトルＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤの相異なる二つのベクトルのなす角がすべて等しい時、点Ｃの座標を求めよ。

という問題です。考え方が全く分かりません…
ヒントでよいので、教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

もう少し追加で。
4点は半径 1の球面上にあるので、|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝|OD→|＝ 1ですね。
よって、内積は
OA→・OC→＝ |OA→||OC→|・cosθ＝ cosθ

と表されます。
内積は、上のように「なす角」で表す場合と「成分」で表す場合がありますね。
この 2とおりの表し方を使うと、座標に対する式を得ることができます。

(2)
∠ＣＯＡ=∠ＣＯＢ=∠ＤＯＡ=∠ＤＯＢ＝θですが、当然θ＝αとならなければなりません。
(1)の結果と組み合わせることで、αに関する式が得られます。

そして、もう一つ∠ＣＯDに関する条件を立てることで、cos(α/2)の値が決定されます。

さほどヘビーな計算量にはならないので、
図を見てどこの角についての条件かをじっくり追っていけばできると思いますよ。

お礼

詳しい回答、大変参考になります！
難しいですが、頑張ってやってみます。

どうもありがとうございました！！

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

うーん、問題文には与えられている文字や条件がいっぱいあるので、
順番に式に表していけば・・・

角COA＝θと与えられているので、
点C(X, Y, Z)とでもおいて「内積」を考えてみてください。
わからない変数は、まず置いてみてください。
（うまい置き方もあるにはありますが、そうでなくてもきちんと解けるので）

図を描いてみれば、「線対称」になっているところから、
点Cや点Dがどの辺にあるかの予測はつくと思います。

(2)は、(1)で与えられているθがどうなったときかを考えるだけです。