図形のベクトル方程式について

質問

平面上の2定点O、Aと動点Pに対し、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置と半径を求めよ。

l2OP－OAl=4
（OPとOAの上には右方向の矢印があります。）

この問題で解説を見ると、2OP－OA=4を　OP－OA/2=2として、
答えは半径が2で、中心の位置はOAの中点なんですが、なぜ2OP－OA=4を2で割るのかが疑問です。そして中心の位置はOAの中点というのも理解できません。この辺を説明お願いします。

回答No.2

yhposolihp · ベストアンサー

点Oを基準点とします。また基準点はどこに在ってもいいので説明の都合で、
原点（０、０）に合わせます。

位置ベクトルP(↑p)=(x,y),　A(↑a)=(s,t)として、
↑0P=↑p=(x,y)、　↑0A=↑a=(s,t)　です。

　　|2↑p-↑a|=4　・・・（１）
　　|↑p-(1/2)↑a|=2 ・・・（２）

このままで中心C(↑a/2)、半径2の円に見えればbetterですが、
これを座標表示すると。

　|(x,y)-(s/2,t/2)|=2
　|( x-(s/2), y-(t/2) )|=2
　√[ {x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2 ]=2

　{x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2=4・・・（３）
これは、中心(s/2,t/2)=(1/2)↑a　、半径2の円です。

（１）が何故不都合かというと、これも座標表示して見ると、
　|2(x,y)-(s,t)|=4
　| (2x-s , 2y-t) |=4
　√[ (2x-s)^2+(2y-t)^2 ]=4

　(2x-s)^2+(2y-t)^2=16 となります。

このままでは、半径も中心も判りにくいので、両辺を４で割ります。
（平方しているんで、ベクトル方程式で２で割ることに対応します。）
　{x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2=4　結局は（３）とおなじです。

つまり、
　　|2↑p-↑a|=4　・・・（１）、　|↑p-(1/2)↑a|=2 ・・・（２）
↑pの係数が２では判り難いので、
↑pの係数を１にするために２で割って（２）が判り易いと。

さらに遡ると、
　中心が原点、半径r の円は |↑p|=r と表され、
　中心が↑α、半径r の円は |↑p-↑α|=r と表されます。
通常この形を円のベクトル方程式と呼ぶようです。
提題の形（１）を（２）に変形する事によって、
中心と半径が判り良くなると。

回答No.1

ojisan7

OBを中心とする半径ｒの円のベクトル方程式は、
|OP-OB|=r
です。これと、
lOP－OA/2|=2
を比較して下さい。