三角比の式

質問

(1) 0≦sinθ≦1
(2) sinθ+cosθ=√3/2
この時のtanθはどうなるかという問いで
(2)からcosθ=に直して
(3)coｓθ=-sinθ+√3/2
(3)をsin^2θ+cos^2θ=1に代入して

ここまではいいのですが
(3)をsin^2θ+cos^2θ=1に代入すると
(4)sin^2θ+(-sinθ+√3/2)^2=1
sin^2θ+sin^2θ-sinθ√6+3/2=1
と途中式が訳の分からない式になってしまいます。

答案ではこの部分の途中式は4sin^2θ^2√6sinθ+1=0となるそうなのですが
この間の計算はどうなっているのでしょうか。
出来れば暗算で可能な箇所も省かずに式を書いていただければ幸いです。

回答No.2

MagicianKuma

質問の趣旨とはずれますが、sinθ+cosθ=Cの形の問題が出たときは、両辺を二乗して(sinθ+cosθ)^2=sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=C^2 となりsinθcosθ=(C^2-1)/2を得ます。これと元の式から、
sinθ+cosθ=C
sinθcosθ=(C^2-1)/2
の対称式が得られます。これからsinθ,cosθが容易に求められます。

回答No.1

info22_

>(1) 0≦sinθ≦1
>(2) sinθ+cosθ=√(3/2)
√の中は（　）を付ける↑

>この時のtanθはどうなるかという問いで
>(2)からcosθ=に直して
>(3)coｓθ=-sinθ+√(3/2)
√の中は（　）を付ける↑

>(3)をsin^2θ+cos^2θ=1に代入して

>(3)をsin^2θ+cos^2θ=1に代入すると
>(4)sin^2θ+(-sinθ+√(3/2))^2=1
√の中は（　）を付ける↑

>(5)sin^2θ+sin^2θ-(√6)sinθ+(3/2)=1
√の中の範囲や分数の範囲↑が分かるように（　）を付けて書く。

>と途中式が訳の分からない式になってしまいます。
括弧をつけて分数の分母の範囲や√内の範囲をハッキリさせる書き方をすれば
訳の分からない式とならずにすみます。

>答案ではこの部分の途中式は(★)4sin^2θ-2(√6)sinθ+1=0となるそうなのですが
(5)式の右辺の1を左辺に移行すると
(6)2sin^2θ-(√6)sinθ+(1/2)=0
２倍すると
(7)4sin^2θ-2(√6)sinθ+1=0
と(★)の式になります。

お分りになりました?