4次可換零因子 AB=BA＝０の問題なのですが・・・

質問

A=(1 -2 2 5)
　　|2 1 3 7|
　　|1 3 3 3|
　　(-1 5 1 -5)に対してAB=BA=０となる実4次行列Bを求めよ。

もうずっと考えてケーリーハミルトンの定理を応用しようと頑張ってはみたのですが、わからなくなってしまってもうお手上げ状態です・・・

どなたかお力を貸してくださいm(_)m

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

Ｂ＝Ｏみたいな自明な例ではダメなんですかね。。。

とりあえず、
Ａx＝0
y^t A=0　　(y^tはyの転置)
を満たすベクトルx,yに対して、Ｂ＝x y^t とおけば、Ｂは条件を満たしそうですね。

お礼

ありがとうございました(　´∀｀)

回答No.2

adinat

ANo.1様の方法でよいと思います。より具体的にやりたければ、B=(b_{ij})と成分でおいてやって、AB=0という条件から、Bの4つの縦ベクトル{(b_{1j},b_{2j},b_{3j},b_{4j})^T}に関する条件が出てきます。もっと分かりやすくいうと、Bをよっつの縦ベクトルv_1,v_2,v_3,v_4を集めたものと考えると、Av_1=0,Av_2=0,Av_3=0,Av_4=0です。ようするにv_1,v_2,v_3,v_4はみな連立方程式Ax=0の解なわけです（xは4次の縦ベクトル）。Aのランクは3なので、これは1次元の解空間を作ります。計算するとx=k(-6,1,-1,2)^Tになるかと思います(kは定数)。ようするにBの各列の成分の比は-6:1:-1:2になるわけです。同様にして、BA=0も使う。今度はBの横ベクトルを上からw_1,…,w_4としてやる。そうすると横ベクトルyはyA=0を満たす。つまり(A^T)(y^T)=0を満たすわけです。これもただの連立方程式だから解けて、解空間は1次元。y=k(2,6,-9,5)になるかと思います。つまりBの各行の成分の比が2:6:-9:5になる。これら両方の条件を満たすような行列の例はもうおわかりですよね。ある行列の実数倍で表される行列です。もちろんその中に自明な解Oも混じっていますから、それ以外が答えです。

お礼

ありがとうございます(　´∀｀)
わかりやすいご指導本当に助かりました！