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AB=E ならば BA=E の証明
２つの行列A、Bについて AB＝E ⇒ BA=E は真、と思うのですが、証明はどのようにすればよいのでしょうか。
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- MARIOworldhouse
- ベストアンサー率24% (52/213)
数学の証明では証明できません。 式としては、 （A×B＝B×A）＝E
- b_black
- ベストアンサー率100% (1/1)
一般に証明できません 結合法則の成り立つ代数系で証明できる必要十分条件は BX=E なるXつまりBの右逆元の存在です 十分条件: BA=BAE=BA*BX=B*AB*X =BX=E 必要条件: 必要ないですね！
- nubou
- ベストアンサー率22% (116/506)
コピーミス 正しくありません Ａが ［０ １ ０］ ［０ ０ １］ であり Ｂが ［０ ０］ ［１ ０］ ［０ １］ の場合 Ａ・Ｂが ［１ ０］ ［０ １］ となりますが Ｂ・Ａが ［０ ０ ０］ ［０ １ ０］ ［０ ０ １］ となります ただしＡとＢが正方行列の場合にはＡ・Ｂ＝Ｅ⇒Ｂ・Ａ＝Ｅです 今は逆行列という概念がない時代だとすると Ｂの余因子行列を｜Ｂ｜（≠０は明らか）で割ったものをＢ’としたとき Ｂ・Ｂ’＝Ｅとなるから Ａ・Ｂ＝Ｅの両辺に右からＢをかけ左からＢ’をかけると Ｂ・Ａ・Ｂ・Ｂ’＝Ｂ・Ｅ・Ｂ’ よって Ｂ・Ａ＝Ｅ
- nubou
- ベストアンサー率22% (116/506)
正しくありません Ａが ［０ １ ０］ ［０ ０ １］ であり Ｂが ［０ ０］ ［０ ０］ ［０ １］ の場合 Ａ・Ｂが ［１ ０］ ［０ １］ となりますが Ｂ・Ａが ［０ ０ ０］ ［０ １ ０］ ［０ ０ １］ となります ただしＡとＢが正方行列の場合にはＡ・Ｂ＝Ｅ⇒Ｂ・Ａ＝Ｅです 今は逆行列という概念がない時代だとすると Ｂの余因子行列を｜Ｂ｜（≠０は明らか）で割ったものをＢ’としたとき Ｂ・Ｂ’＝Ｅとなるから Ａ・Ｂ＝Ｅの両辺に右からＢをかけ左からＢ’をかけると Ｂ・Ａ・Ｂ・Ｂ’＝Ｂ・Ｅ・Ｂ’ よって Ｂ・Ａ＝Ｅ
- Nandayer
- ベストアンサー率47% (20/42)
問題の前提についてですが、 ・ E は n 次単位行列である。 ・ A, B は n 次正方行列である。 ・ A, B の可逆性は仮定しない。 ですか？ とすると、これは見かけより難しい（手間がかかる）問題です。 私の手持ちの本では、 齋藤正彦著「線型代数入門」東京大学出版会 ISBN4-13-062001-0 の P48 に、次のような定理が載っていますので、この系になるでしょう。 「 n 次正方行列 A に対し、XA = E となる n 次行列 X が存在すれば A は正則である。AX = E となる X の存在を仮定しても同様である。」 証明は行列の基本変形を利用しています。 #4 さんの証明は間違いだと思いますので、指摘させていただきます。 AX = A より X が単位元だといっておられますが、ある１つの A だけで AX = A が成り立っていても X が単位元とは言えないのではないでしょうか？例えば、A と X を (1,1) 成分だけが 1 で他は 0 の正方行列とすると、 AX = A ですから。 単位元 E の定義は、＜全ての＞ A にたいして AE = EA = A が成り立つことだったと思います。
- prome
- ベストアンサー率32% (64/196)
群論がわかっていれば、比較的簡単に証明できます。 結合法則と単位元の一意性を使います。 A=EA=(AB)A=A(BA) ・・・(1) よりBA=Eがわかります。 ・・・(2) (1)の説明 ・最初の等号は単位元（単位行列）の性質から ・２番目の等号はAB=Eより ・３番目の等号は結合法則より (2)の説明 ・単位元の一意性より（掛けても同じになるのは単位行列だけ）
Eは単位行列ですよね？ だとすると、det(AB)=det(E)=1より、detA≠0で、 A^-1が存在し、AB＝E ⇒B＝A^-1E ⇒B＝A^-1E=A^-1 ⇒BA＝E(Q.E.D.)
- gimpei
- ベストアンサー率33% (262/782)
交換法則ですね。 行列は確か交換法則が成り立たなかったと覚えて ます。参考ＵＲＬにも書いてます。
