行列のn乗の求め方

質問

大学の線形代数の授業で配られた演習問題の次の問いが解けません。
問：2次正方行列A=[-1,-√3:√3,-1]　　:←のマークは行の変わり目です
に対してA^2,A^3を計算し、その結果を用いてA^nを求めよ。
計算ミスがなければA^2は普通に計算ないしケイリー・ハミルトンの定理を用いて求めることができました。A^2=[-2,2√3:-2√3,-2]　A^3も同様にA^3=8E(E:単位行列)として求めることができました。しかしA^nが分からなかったため、求め方を教えてくださると助かります。　

ちなみに固有値やジョルダン細胞？というものはまだまったく習っていないため、ケイリー・ハミルトンの定理の応用や帰納法（自分は予想したが分からなかった）などで解ける問題だと思うのですが・・・

回答No.1

info33 · ベストアンサー

A=[-1,-√3:√3,-1]
A^2=A A=[-1,-√3:√3,-1][-1,-√3:√3,-1]=2[-1,√3:-√3,-1]
A^3=A^2 A=2[-1,√3:-√3,-1][-1,-√3:√3,-1]=8[1,0:0,1]=(2^3) E
A^4=A^3 A =8E[-1,-√3:√3,-1]=(2^3)A=(2^3) [-1,-√3:√3,-1]
A^5=A^4 A=8A A=(2^3)A^2=(2^4) [-1,√3:-√3,-1]
A^6=A^5 A=8A^2 A=(2^3) A^3=(2^6) E
...

m=1,2,3, ...として
n=3m-2の時 A^n=2^(n-1) EA=2^(n-1) [-1,-√3:√3,-1]
n=3m-1の時 A^n=2^(n-2) A^2=2^(n-1) [-1,√3:-√3,-1]
n=3mの時 A^n=2^n E

お礼

素早い解答ありがとうございます。　A^3=8Eに注目してそれ以降の計算をすると規則性が見えてくるのですね。