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アインシュタイン規約の具体的な演算について
岩波書店の現代物理学叢書「電磁力学」を読んでおります。§7.2特殊相対性理論のところに、計量テンソルを含んだ計算式がありまして、その式がアインシュタインの規約にもとづく(Σ記号を省略した)表現で書いてありますので、なぜそうなるのか理解できずに困っております。ここには数式は正確に表現できませんので、添付資料に詳細を書きますので、具体的に分かりやすく解説していただきたく、よろしくお願いいたします。
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> 回答いただいた趣旨のことは理解しているつもりで、その結果は > a^0_λa^0_ρ-a^1_λa^1_ρ-a^2_λa^2_ρ-a^3_λa^3_ρ > となるように思うんですが、これが何故 g_λρと等しいのかが分からないんです。 たとえば λ=ρ=0 のとき、 a^0_0a^0_0-a^1_0a^1_0-a^2_0a^2_0-a^3_0a^3_0 = γ^2 - 0^2 - 0^2 - (-γβ)^2 = γ^2 (1-β^2) ここで、γの定義が γ=1/√(1-β^2) ですので、γ^2(1-β^2) = 1 となります 他にたとえば λ=0, ρ=1 だったら、 a^0_0a^0_1-a^1_0a^1_1-a^2_0a^2_1-a^3_0a^3_1 = γ*0 - 0*1 - 0^2 - (-γβ)*0 = 0 となります 以上のように、基本的には各成分計算していけば、それぞれ g_λ_ρ に等しいことが分かると思います ただやはり見通しが悪いので（もちろん実質的には同じことですが）行列の掛け算で考えたほうがすっきりする気がします
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- ereserve67
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ローレンツ変換 （☆）dx'^μ=a^μ_νdx^ν は，世界距離 （★）ds^2=g_{μν}dx^μdx^ν が不変になるように定義されたものです．線形代数で有名なように行列A=(a^μ_ν)は直交行列となることが知られていて，計量テンソルの行列G=(g_{μν})と次の関係にあります． A^TGA=G これは次のようにして証明されます．★は変換☆によって ds'^2=g_{μν}dx'^μdx'^ν =g_{μν}a^μ_λdx^λa^ν_ρdx^ρ=a^μ_λg_{μν}a^ν_ρdx^λdx^ρ となりますが，要請ds^2=ds'^2のため， g_{λρ}dx^λdx^ρ=a^μ_λg_{μν}a^ν_ρdx^λdx^ρ となります．dxは任意だから g_{λρ}=a^μ_λg_{μν}a^ν_ρ これを行列でかくと， G=A^TGA となります． 質問者様はこれを具体的なA，Gの成分で確かめたいというのでしょう．しかし，上の理論で理解できればそれでよいと思います．どうしても確かめたければこの回答欄は一杯になるので g_{11}=a^μ_1g_{μν}a^ν_1 だけ確認してみましょう． 左辺=-1 右辺= a^0_1g_{11}a^0_1 +a^0_1g_{11}a^1_1 +a^0_1g_{11}a^2_1 +a^0_1g_{11}a^3_1 +a^1_1g_{11}a^0_1 +a^1_1g_{11}a^1_1 +a^1_1g_{11}a^2_1 +a^1_1g_{11}a^3_1 +a^2_1g_{11}a^0_1 +a^2_1g_{11}a^1_1 +a^2_1g_{11}a^2_1 +a^2_1g_{11}a^3_1 +a^3_1g_{11}a^0_1 +a^3_1g_{11}a^1_1 +a^3_1g_{11}a^2_1 +a^3_1g_{11}a^3_1 = a^0_1g_{00}a^0_1 +a^0_1g_{01}a^1_1 +a^0_1g_{02}a^2_1 +a^0_1g_{03}a^3_1 +a^1_1g_{10}a^0_1 +a^1_1g_{11}a^1_1 +a^1_1g_{12}a^2_1 +a^1_1g_{13}a^3_1 +a^2_1g_{20}a^0_1 +a^2_1g_{21}a^1_1 +a^2_1g_{22}a^2_1 +a^2_1g_{23}a^3_1 +a^3_1g_{30}a^0_1 +a^3_1g_{31}a^1_1 +a^3_1g_{32}a^2_1 +a^3_1g_{33}a^3_1 = a^0_1g_{00}a^0_1 +a^1_1g_{11}a^1_1 +a^2_1g_{22}a^2_1 +a^3_1g_{33}a^3_1 =a^0_1a^0_1-a^1_1a^1_1-a^2_1a^2_1-a^3_1a^3_1 =-1 よって左辺=右辺． これをあと15回繰り返すわけですが，最初の理論を理解できればその必要はありません．
お礼
詳しい解説を、ありがとうございました。 私にとっては、相当難解なレベルですので、じっくり読ませていただきます。
- heboiboro
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a^μ_λ g_μν a^ν_ρ は、普通の記法で書けば、 Σ[μ=0, 4]Σ[ν=0, 4] a^μ_λ g_μν a^ν_ρ ですので、これを律儀に計算すればよいということになります。 あるいは今の和の記号Σを使った表式を見ると、これが行列の積 (aT)ga の (λ, ρ) 成分であることが分かるので、これを計算しても同じです。 （aはμ行ν列成分が a^μ_ν で与えられる行列、aTはその転値行列としました）
お礼
早速、回答いただきありがとうございました。 回答いただいた趣旨のことは理解しているつもりで、その結果は a^0_λa^0_ρ-a^1_λa^1_ρ-a^2_λa^2_ρ-a^3_λa^3_ρ となるように思うんですが、これが何故 g_λρと等しいのかが分からないんです。
お礼
何度も解説いただきありがとうございました。 そういうことですね。 λ、ρの全ての組合せについて 検討してみようと思います。 ただ、行列の積として計算すると、全く異なった 行列になったように思いますが・・・。 ありがとうございました。