ポワソン分布にて・・・教授を信じれば良い？

質問

今ポワソン分布にて、Ｘの期待値は

Ｅ（Ｘ）＝ λ

と分かっています。

で、ここからが質問なんですが、Ｘ^2（Ｘ２乗）の期待値は

Ｅ（Ｘ^2）＝λ^2＋2λ

で合っているのでしょうか？

教科書にはλ^2＋λと書いてあるのですが・・・教授の答えと違っています。

実際問題どっちが正しいのか、はたまたどちらも間違っているのか、数学に関して知識がある方にお願いしたいと思って投稿させて頂きました。

証明の途中式など書くのが面倒くさいのなら、上記の質問に答えていただけるサイトなどを貼り付けていただけると幸いです。

なにとぞよろしくお願いします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

教授が間違っちゃったんでしょう。λ^2+λの方がただしいです。

平均値λのポアソン分布PoはP(Po=k)=e^{-λ}λ^k/k!で与えられます。よってX^2の期待値は、
Σe^{-λ}(λ^k・k^2)/k!=Σe^{-λ}(λ^k・k)/(k-1)!
=λΣe^{-λ}{λ^(k-1)・(k-1+1)}/(k-1)!
と変形します。第二式以降のΣはkについて1から∞まで和をとります。途中式は自力で考えてみてください。
最後の式は(k-1+1)を(k-1)+1とわけてやると、
λ(Σe^{-λ}{λ^(k-1)・(k-1)}/(k-1)!+Σe^{-λ}{λ^(k-1)}/(k-1)!)
となりますが、この(　)の中の第一項はk-1をjとでも置き換えてやれば、実はポアソン分布の平均値の公式になっているわけで、よってλに一致します。第二項はポアソン分布の全確率だから明らかに1です。

したがってλ(λ+1)=λ^2+λが正しいです。

なお、平均値λのポアソン分布の分散はλであることを覚えておけば、E(X^2)=V(X)+E(X)^2であるから、これからただちにλ^2+λであることもわかります。こちらの方が記憶に値する方法ですが、証明するなら、上記の計算に頼ることになりそうです。

お礼

明日から教授をどんな目で見れば・・・

わかりやすい回答ありがとうございました！