答えが合いません…

質問

a、bを定数(a≠b、a>0、b>0)として時間tに関する関数

f(t)=(a/b-a){exp(-at)－exp(-bt)}

において(1)f(t)の極値を与えるtを求めて(2)さらにf(t)の極値が(b/a)(b/a-b)になることを示す問題なんですがさっきから答えが合わず苦戦しています。

一応答えは自分で出してみましたが
(1)はt={log(b/a)/(b-a)}
(2)は(a/b-a)(b/a){exp(-a/b-a)－exp(-b/b-a)}となりました。(1)が合っているのか分かりませんが、(2)の答えが合わないので違っているのかもしれません。

どなたか数学が得意な方、答えて頂けないでしょうか？　お願いします<m(__)m>

回答No.3

noname#47050 · ベストアンサー

＃１です。補足します。
私の計算結果で(a/b)=(b/a)^(-1)と変形すれば質問者様の回答を導くことができます。

お礼

無事解決しました！　ありがとうございました☆

回答No.2

noname#47050

＃１です。
私の計算結果は変形すると質問文の答えと一致します。
（質問文の答えは(b/a)^(b/(a-b))の書き間違いでしょう）

それと老婆心ながら
exp{log(x)}=x
です。logの定義より明らかです。この式を使います。

補足

回答ありがとうございます！　質問文の答えは書き間違えでした。失礼しました。

私が計算し直したところ(a/b)^(b/(b-a))となりました。回答者様の＃1の計算結果と微妙に合いませんね…。それは少し置いておいて(a/b)^(a/(b-a))この結果を変形するとなぜ(b/a)^(b/(a-b))になるか分かりません…　変形方法がよく分からないです。　すいませんが教えて頂けないでしょうか？

回答No.1

noname#47050

（１）は合ってます。
（２）は違ってます。私の計算結果では(a/b)^{a/(b-a)}

いきなりｔをｆに代入するのではなく、まずは（１）の結果を使って計算を楽にします。（１）を求める途中式で
f'=-a*exp(-at)+b*exp(-bt)=0
が出て来る筈ですがこれをちょっと変形すると
exp(-at)=(b/a)exp(-bt)
これをf(t)へ代入してexp(-at)を消去します。
f(t)=a/(b-a){(b/a)exp(-bt)-exp(-bt)}
=a/(b-a)exp(-bt){b/a-1}
・・・
もうちょっと変形してすっきりさせてから、ｔを代入すると簡単です。あとはやってみて下さい。