奇数次の代数方程式

質問

こんにちは。早速ですが質問させてください。
大学の教科書でこんな問題があったんですが、回答が得られないので苦悩しています・・・・・

奇数時の代数方程式は少なくとも一つの実根をもつことを証明せよ。
A(0)+A(1)x^1+……+A(n)x^n　(A(n)=0ではない、ｎは奇数)
ヒント；中間地の定理、関数の極限

という問題なのです。まず、A(ｎ)はどんな値が入りうるのか？とか、
問題を中間地の定理でどう処理していいのかわからないので、
手助けしてもらえるとすごく助かります。。

回答No.2

tatsumi01 · ベストアンサー

中間値の定理ですね。用語は正しく使いましょう。

直感的には No. 1 の方の回答で良いのですが、この直感を厳密に証明しようとするとジョルダンの定理が必要です。

中間値の定理
閉区間 [a, b] 上で連続な実関数 f が f(a) < f(b) を満たすとき、閉区間 [f(a), f(b)] 内の任意の点 γ に対して、γ = f(c) となる [a, b] 内の点 c が存在する。

f(x) = A(0)+A(1)x^1+……+A(n)x^n
とします。f は [-∞, ∞] で連続です。

Z が正で非常に大きな数として a = -Z, b = Z とすれば f(a) = f(-Z)<0, f(b) = f(Z)>0 ですから、中間値の定理で γ = 0 とおいて γ = f(c) となる c が存在することがいえます。

なお、f(-Z)<0, f(Z)>0 を示すところで関数の極限を使います。

回答No.3

tatsumi01

No. 2 のものですが、補足します。

No. 2 では A(n) > 0 と仮定しています。

A(n) < 0 のときには、B(i) = - A(i) と置き換え、B(i) について考えれば同じことになります。

回答No.1

miso_soup

きちんとした証明はわかりませんが。

ある関数F(x)をグラフに描いたとき、次のように分類できると思います。

・偶数次の関数
　　→F(-∞)=F(∞)=-∞
　　→F(-∞)=F(∞)=∞
・奇数次の関数
　　→F(-∞)=∞でF(∞)=-∞
　　→F(-∞)=-∞でF(∞)=∞

つまり、奇数次の代数方程式であらわされる関数は
少なくとも1回はx軸と交点を持つということです。
この点こそまさに実根です。

このような点の上下から極限まで挟み込んで行って、
その間には必ずx軸との交点(=実根)があることを証明する、という感じではないでしょうか？