方程式

質問

この間テストに出た
ａ＝ｂではないとき、１/（ｘ-ａ）＋１/（x-ｂ）＝１
は２実根をもつことを示せ、という問題でaとbに実際の
数字を当てはめて解の公式を使い、虚数にならないから
２実根をもつとして間違えてしまいました。
実際はどのように対処すればよいのでしょう？

回答No.1

shinchan_k · ベストアンサー

>aとbに実際の数字を当てはめて解の公式を使い
というのは、そのa,bの値のときのみ証明したことになるのでa,bが他の値のときには成り立つのかどうか分からないので、間違いになります。

まず、両辺に(x-a)(x-b)をかけると

(x-b)+(x-a)=(x-a)(x-b)

となるので、式を整理して、

x^2-(a+b+2)x+(a+b+ab)=0

とします。この２次方程式の判別式をDとして、

D=(a+b+2)^2-4(a+b+ab)
=a^2-2ab+b^2+4
=(a-b)^2+4>0

なるので、この方程式は２実根をもつ。

となります。

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。
判別式を使えばよかったのですね。

回答No.4

Mell-Lily

具体的な数字を代入せずに、a,bのまま計算すればいいわけです。
　1/(x-a)+1/(x-b)=1
　⇔ (x-b)+(x-a)=(x-a)(x-b)
　⇔ x^2-(a+b+2)x+ab+a+b=0

回答No.3

ganzou

計算ミスった！
下の人の答えで正解ですね。

回答No.2

ganzou

それは問題の答になっていませんよね？
問題は、a≠bのときは「いつでも」2実根を持つことをしめせというものです。
問題の式を式変形すると、
1/(x-a)+1/(x-b)=1
両辺に(x-a)(x-b)をかけて、
(x-b)+(x-a)=(x-a)(x-b)
⇔2x-(a+b)=x^2-(a+b)x+ab
(x^2はxの２乗という意味です。）
⇔x^2-(a+b+2)x+ab+a+b=0
判別式D=(a+b+2)^2-4(ab+a+b)
=a^2+ab+2a+ab+b^2+2b+2a+2b+4-4(ab+a+b)
=a^2+b^2-2ab
=(a-b)^2
これはa≠bを考えると、必ず正の数となるので２実根をもつことを示せます。