奇数の定義について

質問

奇数の定義について
中学生です。
「連続する２つの奇数の積に１を加えると、この奇数のあいだにある偶数の平方になることを証明しなさい」の問題で、答えは「奇数→２ｎ＋１　偶数→２ｎ」を定義するのですが、「小さいほうの奇数をＸとする」として解きましたら、間違いと指摘されました。でも、問題集によってはＸで定義して答えを出しているものもあります。どなたか明確にＸでは駄目なことを教えていただけませんか。よろしくお願いいたします。

回答No.4

momordica · ベストアンサー

あなたの証明でまったく間違っていません。

もし
「差が２である２つの整数の積に１を加えると、この２数のあいだにある整数の平方になる」
が言えるなら、
「連続する２つの奇数の積に１を加えると、この奇数のあいだにある偶数の平方になる」
も当然言えるわけですから。
より一般性の高いxと置いて証明できるなら、敢えて2n+1のような限定した置き方をする必要はありません。

学校の定期試験か何かなら、一応、抗議をした方がいいでしょう。
それで訂正されないなら、以後その教師の言うことは、あまり信用しない方がいいと思います。
証明や論理というものを根本的に理解していないということですから。

お礼

ありがとうございます。
スッキリしました。
教師に話してみます。

回答No.5

koko_u_u

あってる。
まったく問題ありません。

お礼

ありがとうございます。
自信を持ちました。

回答No.3

tomokoich

証明の仕方はあっているのでもったいないですね。
偶数、奇数を表すときはやはり偶数が２の倍数ということで２ｎとするのが普通でしょう。
こうすればｎがどんな値でも２ｎは偶数になりますよね。
そうなると奇数はその前後だから２ｎー１,２ｎ＋１,２ｎ＋３,・・・とするのが確実でしょう

もし奇数を質問者様がおっしゃるようにＸとするとＸ自体がそれこそ奇数の場合のみの話になってしまいますよね。偶数の場合もありえるわけでして、ただＸとしたのではそのＸが奇数であること（２の倍数＋１になっていることを）をどこかで証明しなければなりませんので、２ｎ＋１とすれば必ず奇数ということでスマートに証明できます

質問者様のやりかたで
（ｘ＋１）＾２
と持ってきたのなら最後で
ｘ＝２ｎ＋１
としてｘが奇数だよということを入れてあげればいいとは思いますが・・
（２ｎ＋２）＾２
になるので結論は同じですがそれなら最初から２ｎ＋１で証明した方がわかりやすいでしょう。

お礼

ありがとうございます。
スマートな証明を目指します。

回答No.2

noname#148625

これはXを使うことがダメなのではなくて、「小さい方の奇数をXとする」というあいまいな定義がダメなんです。
これは質問者さんが勝手に定義していることなので、Xが偶数でないこと、またXが偶数の時にはこの証明に当てはまらないことを別に証明しなければなりません。
そんなことするくらいなら最初から奇数と明確に分かる2n+1で証明しましょうということです。

お礼

なるほど。
ありがとうございます。
明確な証明を目指します。

回答No.1

koko_u_u

>「小さいほうの奇数をＸとする」として解きましたら、間違いと指摘されました。

その解答のすべての内容を記載しないと、間違いかどうかわかりません。
補足にどうぞ。

補足

ありがとうございます。
「小さいほうの奇数をxとする。
　x(x+2)+1
　=X2乗+2x+1
　=(x+1)2乗
　xは奇数なので、x+1は偶数。
　よって、連続する2つの奇数の積に１を加えると
　その間にある偶数の平方になる。」
と、しました。
よろしくお願いします。