三角関数

質問

xの方程式 cos2x＋2ksinx＋k－4＝0 (0≦x≦π)の異なる解の個数が2つであるためのkの満たす条件を求めよ。

まず、式変形をして
1－2sin^2 x＋2ksinx＋k－4＝0 とし、定数分離できないので、
sinx＝ｔとおいて-2t^2＋2kt＋k－3＝0（0≦t≦1）
とやろうと思いましたが、なんかよくわからなくなってしまいました。
回答よろしくお願いします。

回答No.5

take_5

＞場合分けをして考えればよかったんですか…。

別に、場合分けなんかしなくても解ける。

2t^2 - 2kt - k＋3＝0から、2t^2 ＋3＝2k（t+1/2）＝yとすれば、y＝2t^2 ＋3のグラフとy＝2k（t+1/2）のグラフが0≦t≦1に１個のみの解をもつ条件として求まる。
つまり、y＝2k（t+1/2）は定点（-1/2、0）を通る傾きが2kの直線。
又、Ａ（0、3）、Ｂ（1、5）とすると、点Ａを通る時の傾き≧2k＞点Ｂを通る時の傾き、として求められる。

断っておくが、この問題のポイントは、あくまで“sinx＝ｔとおいた時、xの (0≦x≦π)における異なる解の個数が2つであるための条件は、x＝π/2以外は、xとtは　0≦x≦πの範囲では、2対1の対応である事”にある。

kを求める事は、それ程本質的ではない。

回答No.4

kumipapa

#2 うっかりですね。#3さんがおっしゃるとおり。0≦x≦π でしたね。

回答No.3

take_5

sinx＝ｔとおいた時、xの (0≦x≦π)における異なる解の個数が2つであるための条件とは、x＝π/2以外は、xとtは　0≦x≦πの範囲では、1対2の対応である事に注意。
0 ≦ t ≦ 1 で2つの異なる実数解を持つように k を定めれば良いという単純な問題ではない。

f（t）＝2t^2 - 2kt - k＋3＝0　‥‥(1)　が0≦t≦1に１個のみの解をもつ条件として求まる。
(1)t＝0の時、k＝3でこのとき(1)は　t（t-3）＝0.　つまり、x＝0、πであるから条件に適する。
(2)t＝1の時、つまり、x＝π/2であるから条件に反する。このとき、k＝5/3。
(3)0＜t＜1に１個のみの解をもつ条件は、f（0）*f（1）＜0.　つまり、5/3＜k＜3.

以上より、5/3＜k≦3.

お礼

回答ありがとうございました。場合分けをして考えればよかったんですか…。参考になりました。

回答No.2

kumipapa

そのまま進めば良いのです。
二次方程式
-2t^2 + 2kt + k-3 = 0
⇔　t^2 - kt - (k-3)/2 = 0
が 0 ≦ t ≦ 1 で２つの異なる実数解を持つように k を定めれば良いのでしょう？

分からなくなったらグラフを書いて考えましょう。
y = f(t) = t^2 - kt - (k-3)/2 とおいて、

・　放物線の軸はどこになければならないか
軸は t = k/2 で、0＜k/2＜1 でなければならない　・・・(1)

・　f(0)≧0 かつ f(k/2)＜0 かつ f(1)≧0　・・・　(2)
0≦t≦1 で異なる２つの実数解を持つ条件として、グラフを眺めれば上の条件が出てくるでしょう。f(k/2)は頂点の y 座標であり、f(k/2)＜0 は 判別式＞0 と同じことですね。

で、(1),(2) の連立不等式を解けば良いのです。頑張りましょう。

回答No.1

egarashi

tの二次方程式と見て、判別式Dの符号で考えてみてはいかがでしょうか？