参考書における材料力学の問題文の解釈について。

質問

私は機械科で材料力学を勉強しているのですが、参考書に掲載されている問題文がよくわかりません。次の問題です。
問題4：各辺の長さがそれぞれ10cmおよび5cm、厚さが1cmである長方形版がある。いま各辺の長さを10.008cmおよび9.992cmに変形させるには、板の縁にどのような力を作用すべきか。ただし、ヤング係数を2.1×10^6kg/cm2、ポアソン比を0.3とする。
平面応力で考えればいいと思うのですが、問題文の10.008および9.992の9.992は4.992のように思うのですが参考書の解答は9.992で通してます。勉強不足で自分では判断できないです。どなたかコメントいただけると助かります。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

質問者さんのお考えで正しいと思います。

確かに9.992でも問題としては一応解けて答え(らしきもの)が出ますから、絶対に間違いとまでは断じられません。しかし以下の理由から9.992というのは現実的な設定とは思えません。

(1)ヤング率が2.1×10^6 kgf/cm^2もある材料でできている厚さ1 cmの板を、2倍に引き延ばそうとしたら、そのために必要な力(側面における面圧といってもよい)は桁外れの大きさになります。
しかもそれが圧縮であるなら、ただ側面を押せばよいのですから実現の可能性はわずかに残りますが、引張りとなると板の縁に「強力な接着剤」でも塗って、別の部品(ジグ)を接着しその部品を引張る必要があります。それだけの引張りに耐える接着剤は世の中に存在しないでしょう。
(このように引張りは力を加えるのにひと細工が要りますから、出題者は圧縮を半ば無意識に前提にするものです)
(2)「ヤング率」の考え方を用いるということは、ひずみと応力が比例するということが大前提になります。材料においては一般に、変形が小さい場合に限ってひずみ-応力の比例関係が成立します。
この「小さい場合」がどれくらいであるかは材料によって異なりますが、今回の問題の設定(5 cmのものを9.992 cmにまで引き延ばす)はとても「変形が小さい場合」とは呼べません。そこまで変形が大きいとなるとひずみ-応力の比例関係が保たれているわけはなく、またポアソン比についても0.3で不変とは考えられません。
(3)それでもなお「2倍近くに引き延ばす」ということが問題の主眼であるなら、なにも「9.992」といった端数にする必要はなく、「10 cmに引き延ばす」でよいはずです。微妙な端数が付いているということはやはり、当初の寸法とのわずかな差異(微小な変形)が重要であることを意味しています。

以上の3点からすると、問題の設定(9.992 cm、引張り)というのはとんでもなく現実離れしていますから、99%誤りでしょう。変形後の寸法が4.992 cmであるか、あるいは板の当初の大きさが10 cm×10 cmかのどちらかだと思います。(前者の4.992 cmの方が問題としては面白いので、たぶんそちらでしょう)

お礼

(2)の「材料においては一般に、変形が小さい場合に限ってひずみ-応力の比例関係が成立します。」という点で感服いたしました。最近、学習したばかりなのに気づけずお恥ずかしい限りです。(1)の現実論、(3)の問題文からの観点もたいへん参考になりました。まことに丁寧なご回答、ありがとうございました。