式の値 数学I

質問

学校の宿題で以下のような問題がでました。
この２問にかれこれ２時間かかってます。
どなたかヒントかこたえをおしえてください
本当にこまってます

a+1/a=2　のとき、
a＾3-1/a＾3　と, a＾5-1/a＾5 の値をもとめよ。

です。　よろしくおねがいいたします。

回答No.4

debut · ベストアンサー

この問題に限れば、ａの値を出してしまった方が速いかもしれないけど
意味がないようになってしまうので、一般的なやり方をちょっと書きます。

(a+1/a)^2=a^2+2+1/a^2
　　　　 =a^2+1/a^2+2・・・(1)
(a-1/a)^2=a^2-2+1/a^2
　　　　 =a^2+1/a^2-2・・・(2)
(a-1/a)^3=a^3-3*a^2*(1/a)+3*a*(1/a^2)-1/a^3
　　　　　=a^3-3a+3/a-1/a^3
　　　　　=a^3-1/a^3-3(a-1/a)・・・(3)
という展開はわかりますか？

(3)式の右辺にある-3(a-1/a)を移行した後で左辺と右辺を交換すれば
　a^3-1/a^3=(a-1/a)^3-3(a-1/a)　が得られるので(a-1/a)の値がわかれば
　この式の値が求められるということがわかります。
　そして、(1),(2)を利用すればこの(a-1/a)の値は求められます。
　（(2)式はさらに、(a-1/a)^2=(a+1/a)^2-4とできるのがわかれば
　　ずっと楽なのですが・・・(a-b)^2=(a+b)^2-4abの利用）

a^5-1/a^5=(a^3-1/a^3)(a^2+1/a^2)-a^3/a^2+a^2/a^3
　　　　　=(a^3-1/a^3)(a^2+1/a^2)-(a-1/a)
　・・・無理やり３乗と２乗の積の形を作り、展開して出てくる
　　　　余分なものを引く

のように変形して計算します。

お礼

丁寧なご解答ありがとうございます。
1つだけわからないことがあります
どうやったら（1）と（2）から（a-1/a）の値がわかるのでしょうか？
また、 a+1/a=4　のとき、
1/a＾2*(a＾4-3*a＾3+2*a＾2-3*a+1) の値をもとめよ、
という問題があるのですが、これもまったく同じ要領でとくことができるのでしょうか？

回答No.6

debut

Ｎｏ４です。
＞どうやったら（1）と（2）から（a-1/a）の値がわかるのでしょうか？

　(1)に a+1/a=2 を代入すると、2^2=a^2+1/a^2+2 → a^2+1/a^2=2
　すると(2)は、(a-1/a)^2=2-2=0 よって、・・・
　　※普通はここで、(a-1/a)^2=3 とか出てくるのですが、その場合は
　　　２乗をはずして、a-1/a=±√3 のように求めます。
　　　したがって、a と 1/a の大小関係が示されていない問題では
　　　a-1/a に関係する、例えば a^3-1/a^3 などの式の値は±、２つ
　　　の値が出ることになります。

＞これもまったく同じ要領でとくことができるのでしょうか？

　　同じ要領です。1/a^2を分配してみれば見えてきます。

回答No.5

noname#231526

#4 へのお礼質問への回答です。

α＋β　と　αβ　から　α－β　の式を出すよく使う方法があります。
　(α－β）^2 = （α＋β)^2 －　4αβ

　この式は非常によく使うので覚えておいてそんはないでしょう。
　α= a
　β= (1/a) と置くと、
　( a - (1/a) )^2 = (a + (1/a) )^2 - 4a(1/a)
となります。a + (1/a) = 2 , 4a(1/a) = 4ですから、
　( a - (1/a) )^2 = 4 - 4 = 0 となります。

回答No.3

redowl

＞a+1/a=2　のとき、

これって、　「a　-（1/a）=2　のとき、」　なのでは？

a　-（1/a）=2　を両辺二乗して
a^2 -2 +(1/a^2)=4
a^2 +(1/a^2)=6

一方、　a＾3-1/a＾3＝(a-1/a)（a^2+1/a^2+1)
後は自力で解きましょうよ。

回答No.2

noname#231526

#1の補足とお礼から誤解が生じていることが分かりました。
　#1 さんの回答に、以下のように「」の部分を補足します。

　a + (1/a) = 2 「であるから、
　この式の両辺に a を掛けて整理すると、」
　a^2 - 2a + 1 = 0 「となるのでこの式」で a を求めれば簡単です、ということです。

　で、ここまでで、あとどこがどう分からないか、#1 のお礼にあるように書いてくださると、また、私か他の人がさらに説明してくれることでしょう。課題をそのまま解いてみせると削除対象になりますので。

回答No.1

mon-nashi

a+1/a=2
a^2-2a+1=0

でaを求めれば、簡単だと思います。

あとはがんばって

お礼

a＾2-2a+1　と　a+1/a=1
から a をだせば簡単だといわれましたが

a＾2-2a+1　はどこから来たのでしょうか？

あと、これが a+1/a=4　の場合も可能なのでしょうか？

よろしくおねがいいたします

補足

早速のご回答ありがとうございます。
ですが残念ながら理解できません
当方、今日この分野にはいったばかりの高校1年生で、
8時間もぶっ通しで数学だけ勉強してるせいか、
基礎がどんどんぬけていってます。

ほんとうに申し訳ございませんが
答えの手前ぐらいまで解答のしかたをおしえてほしいです。　よろしくおねがいいたします