楕円の式の導出

質問

数学の授業で楕円の性質として、「焦点から光を発し楕円形に配置した鏡面で反射させると、必ずもう一方の焦点を通る」と説明を受けた覚えがあります。この性質を数式化し変形したら、楕円の式を導出出来るのでしょうか？

焦点をS1(-s,0)、S2(s,0) s>0
曲線上の点をP(x,y)
方針：
Pにおける接線と線分s1Pのなす角と、
Pにおける接線と線分s2Pのなす角が等しい
接線：y-y0=y'(y0)(x-x0) ただしy'(0)は接点p(x0,y0)における微分係数
線分S1P：y=y0/(x0+s)(x+s)
2直線のなす角の公式ってなんだっけ？

もういい歳なので計算は中断しますが、このまま進めて結論は出るでしょうか？
露骨に言うと、どなたか代わりに算出頂けると大変有難いです。
あるいはもっと簡単な方法があるでしょうか？

回答No.5

muturajcp · ベストアンサー

平面上の点をS1(-s,0),S2(s,0),s>0
Pを曲線上の点
Pにおける接線ベクトルをPT1=T2Pとすると
∠S1PT1=∠S2PT2
cos(∠S1PT1)=cos(∠S2PT2)
S1Pと接線ベクトルT1Pの内積は
(T1P,S1P)=|S1P||PT1|cos(∠S1PT1)
S2Pと接線ベクトルT2Pの内積は
(T2P,S2P)=|S2P||PT2|cos(∠S2PT2)
PT2=-PT1
|PT1|=|PT2|
だから
(PT1,S1P)/|S1P|=-(PT1,S2P)/|S2P|
Pは曲線上の点だから
Pの座標(x,y)は
ある媒介変数tの関数
x=x(t)
y=y(t)
となっている
Pでの接線があり微分可能だから
x'=dx/dt
y'=dy/dt
とすると
PT1=(x',y')
S1P=(x+s,y)
S2P=(x-s,y)
だから
(PT1,S1P)=(x+s)x'+yy'
(PT1,S2P)=(x-s)x'+yy'
{(x+s)x'+yy'}/|S1P|=-{(x-s)x'+yy'}/|S2P|
{(x+s)x'+yy'}/|S1P|+{(x-s)x'+yy'}/|S2P|=0
{(x+s)x'+yy'}/√{(x+s)^2+y^2}+{(x-s)x'+yy'}/√{(x-s)^2+y^2})=0
ここで
z=|S1P|+|S2P|
とすると
z=√{(x+s)^2+y^2}+√{(x-s)^2+y^2}
z'={(x+s)x'+yy'}/√{(x+s)^2+y^2}+{(x-s)x'+yy'}/√{(x-s)^2+y^2}=0
だから
z=|S1P|+|S2P|=C(一定)となる
このCに対して
a=C/2
b=√(a^2-s^2)
とすると
楕円の式は
(x/a)^2+(y/b)^2=1
となる
y=±b√{1-(x/a)^2}
だからyはxの関数でない
(x,y)=(a,0)での接線方向ベクトルは
(0,1)となってdy/dx=1/0=∞となる
から
上記の媒介変数t=xとすることはできません
x=acost
y=bsint
とはできます

お礼

詳細な回答ありがとうございます。
じっくり読み進めます。

回答No.4

nag0720

∠S1PS2の二等分線とx軸との交点をQとすると、
角の二等分線の性質より点Qは線分S1S2をS1P：S2Pに内分するので、Qのx座標は、
S1S2*S1P/(S1P+S2P)-s
=2s*√((x+s)^2+y^2)/(√((x+s)^2+y^2)+√((x-s)^2+y^2))-s
={x^2+y^2+s^2-√((x^2+y^2+s^2)^2-4s^2x^2)}/2x

曲線の接線は直線PQと直交するので、
y'=-{x-{x^2+y^2+s^2-√((x^2+y^2+s^2)^2-4s^2x^2)}/2x}/y

この微分方程式を解けばいいのですが、このままでは難しいので、
2sx/(x^2+y^2+s^2)=cosz
と置いてやれば、簡単な微分方程式になります。

回答No.3

muturajcp

焦点をS1(-s,0),S2(s,0),s>0
曲線上の点をP(x,y)
Pにおける接線ベクトル(x',y')と
ベクトルS1Pのなす角をtとすると
Pにおける接線ベクトル-(x',y')と
ベクトルS2Pのなす角がtに等しく
S1P=(x+s,y),S2P=(x-s,y)だから
接線ベクトル(x',y')とS1Pの内積は、
((x',y'),S1P)=|(x',y')||S1P|cost
=(x+s)x'+yy'
接線ベクトル-(x',y')とS2Pの内積は、
(-(x',y'),S2P)=|(x',y')||S2P|cost
=-{(x-s)x'+yy'}
↓
{(x+s)x'+yy'}/|S1P|=cost=-{(x-s)x'+yy'}/|S2P|
↓
{(x+s)x'+yy'}/|S1P|+{(x-s)x'+yy'}/|S2P|=0
↓
{(x+s)x'+yy'}/√{(x+s)^2+y^2}+{(x-s)x'+yy'}/√{(x-s)^2+y^2})=0
ここで
z=|S1P|+|S2P|
とすると
z=√{(x+s)^2+y^2}+√{(x-s)^2+y^2}
z'={(x+s)x'+yy'}/√{(x+s)^2+y^2}+{(x-s)x'+yy'}/√{(x-s)^2+y^2}=0
だから
z=|S1P|+|S2P|=C(一定)となる
このCに対して
a=C/2
b=√(a^2-s^2)
とすると
楕円の式は
(x/a)^2+(y/b)^2=1
となる

お礼

ありがとうございます。
Z'=の部分、zをxで微分したら上の条件式と一致するから0になる。微分してゼロなのだから、zはxに依存せず一定値、という内容でいいでしょうか。この場合、x' はどこから出たのでしょうか。

回答No.2

alice_44

貴方のやり方で ok、楕円の式が導けます。
「なす角が等しい」の立式は、
P に置ける法線ベクトルを ↑n として、
S1P, S2P 方向の単位ベクトルとの内積が等しい
↑n・↑S1P/｜↑S1P｜ = ↑n・↑S2P/｜↑S2P｜
とすればよいです。
↑n が x, y の微分を含むので、
この微分方程式を解けば、楕円の式になります。

回答No.1

HIROWI02

え～と、理系大学生をしているものです。

楕円の式を証明すればいいのでしょうか？？

それとも「焦点から光を発し楕円形に配置した鏡面で反射させると、必ずもう一方の焦点を通る」ということを証明すればいいのでしょうか？？

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[楕円の式]

焦点S1,S2を結ぶ直線を x軸にとり線分S1S2の中点Oを原点とし、S1,S2の座標をS1(s,0)、S2(-s,0)とする。

楕円の任意の点をPとすれば

PS1+PS2=2a・・・・・・・・・・・・・・(1)　

点Ｐの座標を(x,y)とすれば、２点間の距離の公式により

PS1=√(x-k)^2+y^2・・・・・・・・(2)

PS2=√(x+k)^2+y^2・・・・・・・・(3)

よって(1)の式に(2)、(3)を代入して整理すると

(a^2-k^2)x^2+a^2y^2＝a^2(a^2-k^2)

明らかに a>k>0　なので　a^2-k^2=b^2 [b>0]　ゆえに

楕円の式⇒⇒　x^2/a^2＋y^2/b^2＝１

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お礼

ありがとうございます。
「焦点から光を発しある曲線上に配置した鏡面で反射させると、必ずもう一方の焦点を 通るような曲線はどのような形になるか」です。必要十分条件の矢印で示すと
鏡面反射→楕円
を証明したいのです。