因数分解の問題です 教えてください

質問

x^3+y^3+3xy-1を因数分解するとき

何について整理したらよいのでしょうか？
また、やり方も教えていただけると嬉しいです。

考えてみたものの力不足だったため
お力を貸してくださいm(u_u;)m

回答No.4

adinat · ベストアンサー

♯2です。

もしかすると誤解されているかも知れないので、再度強調しておきますが、複数文字を含む因数分解は最低次数の文字に着目して解くものがほぼすべてです。ただしこの場合はどちらも同じ次数なので難度は変わりません。その上、たとえばxに着目して整理すると元にあった式の対称性まで失ってより難しくなったようにさえ思えます。そういったわけで別のアイデアを提供したわけです。xについて整理してから変形したわけではなくて、完全に別文脈です。誤解させたのなら申し訳ありません。

さて、一般にxとyを入れ替えても式が変わらないものを(xとyの)対称式といいます。たとえば x^5+y^5+x^2y^2 などです。対称式は必ず基本対称式と呼ばれる x+y と xy を用いて書けることが知られています。証明は大学レベルですが、事実自体は高校生（あるいは中学生）でも知っておくべきことです。たとえば、
x^3+y^3=(x+y)^3-3x^2y-3xy^2=(x+y)^3-3xy(x+y)
となり確かに、x+y と xy で書けてます。実際にご自身で確かめてみてください。（なお、この式変形は自然に思いつくものです。というのは、x^3+y^3を出すためには、x+y を3乗するよりなく、3乗しておいて余分な項を引くと答えが得られるのです。）このことから、
(x^3+y^3)+(3xy-1)={(x+y)^3-3xy(x+y)}+(3xy-1)
です。あとは x+y→u と xy→v という置き換えを使っただけです。

ちなみに二次の因数分解以外で発展的内容も含めて高校生で知ることになっている因数分解の公式は
(x±y)^3=x^3±3x^2y+3xy^2±y^3
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
だけです。それ以外はたすきがけを使って地道に計算するしかないことになっています。そういう意味では僕が提示した基本対称式で書き直してから因数分解するというテクニックはまず受験で要求されることはありません。というか誰もそういう技を知りません。ですが、まあ覚えておいて損はないとも思いますけれど．．．

お礼

詳しく有難うございました！
理解できました。

対称式、忘れていたのでもう一度確認しておきます
m(__)m

本当に有難うございました。

回答No.3

yoikagari

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)・・・※
と言う因数分解は覚えておいて損はないと思います。
ほかの方も仰るとおり、※の公式を知らずにx^3+y^3+3xy-1を因数分解するのは、ほぼ不可能と思われるからです。

因みに、※の因数分解は
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)を利用して
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)-3xyz={(x+y)+z}{(x+y)^2-(x+y)z+z^2}-3xy{(x+y)+z}=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2)-(x+y+z)(3xy)=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
と言うやり方でもできます。

※の式でz=-1とおくと、postroさんの回答にある
「x^3+y^3+3xy-1=(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)」
となることを確認してみてください。

お礼

回答有難うございました。

忘れないように覚えときます。

回答No.2

adinat

複数の文字が入っている場合は、最低次数の文字に着目するのが大原則です。それは低次の因数分解の方が易しいからです。しかし、この場合はxとyについて対称なので、どちらに着目しようがまったく同難度の3次の因数分解になります。xに着目すれば、
x^3+(3y)x+(y-1)(y^2+y+1)
となります。しかしながら、これを解くのは正直、非常に困難です。こういうときはせっかくなので元の方程式の対称性を大事にしましょう。
u=x+y,v=xy
とおいて
x^3+y^3+3xy-1=u^3-3uv+3v-1=3(1-u)v+(1-u^3)
あとはvについては1次なので楽勝ですよね。

ちなみにこの問題のように対称式（xとyを入れ替えても式が変わらない）の因数分解は難しい場合が多いです。そのときは基本対称式（xとyの二文字の場合はu=x+y、v=xyのこと）で書き直すと、uとvの式が出ますが、今度はたいていの場合もう対称式ではないので、どちらかの文字に着目すると元の式よりも簡単に因数分解ができるようになります。もしuとvの対称式になっていれば、さらにs=u+v、t=uvとおいてやります。そんな問題をやる機会は滅多にありませんが。

まず予備校や塾や学校では教えてくれないと思いますが、
x^3+y^3+z^3-3xyz
も同様の方法で簡単にできます。u=x+y+z、v=xy+yz+zx、w=xyzとおけば、
u^3-3uv
となって、実に簡単に因数分解が出来てしまいます。

お礼

回答有難うございます。

xに着目するところは分かったのですが
u=x+y,v=xy
とおいて
x^3+y^3+3xy-1=u^3-3uv+3v-1=3(1-u)v+(1-u^3)

のところがよくわからないので教えていただけると
有難いです(>_<;)

宜しくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

postro

この問題は因数分解の問題の中でも最も難しいうちの一つだと思います。
a^3＋b^3＋c^3－3abc=(a＋b＋c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
という式が成り立つことを知識として知っていないとなかなか思いつかないからです。
逆にこの式を知っていれば
x^3+y^3+3xy-1=x^3+y^3+(-1)^3-3xy(-1)=(x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+y+x)=(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)
となることがわかります

お礼

回答ありがとうございます。
式を教えていただいたおかげで
解けました。

忘れないようにします。