順列の公式の解説の仕方

質問

高校生のいとこに数学を教えています。順列の公式、
nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)
は最終的に
＝n!/(n-r)!
と表されます。

過去に同様の質問がありましたが、私の理解力不足で
どうして最初の式から最後の公式にいたるのか、
その考え方の過程がうまく理解できず、説明できません。
どなたかわかりやすい考え方の説明をお願いします。

回答No.2

freedom560 · ベストアンサー

No.1さんが書かれていますが・・

n!という意味はまずわかっていますか？
n!=n×(n-1)×・・×１　という記号です。

つまり、例えば５！なら
５！＝５×４×３×２×１　です。

ここで
nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)
はｎから（ｎ-ｒ＋１）までかけるという意味ですよね
？

例えば5Ｐ3は５から５－３＋１＝３までかけるので
5Ｐ3＝５×４×３　です。

ここで、No.1さんが書かれているように
5Ｐ4＝５×４×３×２（×１）／１
5Ｐ3＝５×４×３（×２×１）／（２×１）
5Ｐ2＝５×４（×３×２×１）／（３×２×１）
5Ｐ1＝５×（４×３×２×１）／（４×３×２×１）
と考えることができるので、
nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)
＝n!/(n-r)!　となります。

ｎＰｒは「ｎも含めてｎからどんどん１小さくしていった数をｒ個かける」という見方もできます。
5Ｐ5＝５×４×３×２×１　では５個の数字を
5Ｐ4＝５×４×３×２　で４は個の数字を
5Ｐ3＝５×４×３　では３個の数字を
5Ｐ2＝５×４　では２個の数字を
5Ｐ1＝５　では１個の数字をかけていることを確認してください。

つまり、最初はｎから１小さくなっていく数字をｎ個かける予定だった（ｎ！を計算した）んだけど、ｎ個じゃなくてｒ個でよくなったので、（ｎ－ｒ）から１小さくなっていく数字を（ｎ－ｒ）個かけて（(ｎ－
ｒ)！を計算して）最初のｎ！から割ってみたというイメージです。

回答No.3

take008

直接 ｎ!/(ｎ－ｒ)! が順列の値であることの説明をします。
ｎ個全部並べて，頭のｒ個の並べ方が同じ（後ろの(ｎ－ｒ)個の並べ方だけが違う）ものをまとめて１通りと数えればよい。
　ｎ個全部を並べる並べ方 ｎ!通り
　後の(ｎ－ｒ)個の並べ方 (ｎ－ｒ)!通り
　ゆえに， ｎ!/(ｎ－ｒ)! 通り

この考え方をすると，組合せの場合，頭のｒ個の並べ方を変えたたけのものも１まとめにするから
　ｎ!/{ｎ!(ｎ－ｒ)!} 通り
とわかります。

さらに，ｐ，ｑ，ｒ個の３つのグループにわけ区別がつく箱に入れる（ｐ＋ｑ＋ｒ＝ｎ）入れ方も
　ｎ!/{ｐ!ｑ!ｒ!}
となることもわかります。

お礼

解説ありがとうございました。折角の解説ですが、実力不足の私には、少々難解でした。ポイント差し上げられず、大変申し訳ありません。

回答No.1

BLUEPIXY

n(n-1)(n-2)…(n-r+1)
=n(n-1)(n-2)…(n-r+1){(n-r)(n-r-1)(n-r-2)…2・1}/{(n-r)(n-r-1)(n-r-2)…2・1}