順列と重複順列の組み合わせ

質問

順列について、質問があります。
n個の数から、重複可でr個取り出した場合は、nPrとなるかと思いますが、
n個のうち、m個については重複不可とする場合の順列はどのように求めればよいでしょうか。

例)A,B,1,2,3から6つ取り出す。（但し、A,Bについては重複不可）

回答No.3

debut · ベストアンサー

＞例)A,B,1,2,3から6つ取り出す。（但し、A,Bについては重複不可）
は、A,Bがある場合とない場合に分ければ
・A,Bがない・・・３^6
・A,Bの一方がある・・３^5×6Ｃ1×2Ｐ1
　　　（6Ｃ1はAかBの入る場所のとりかた、2Ｐ1はその場所
　　　　にAかBの一方が入る場合の数）
・A,Bの両方がある・・３^4×6Ｃ2×2Ｐ2
　　　（6Ｃ2は、A,Bの入る場所のとりかた、2Ｐ2はその場所
　　　　にA,Bの両方が入る場合の数）
よって、これらの和を求めればいいと思います。

＞n個のうち、m個については重複不可とする場合の順列
も同じように考えれば、重複を許すのがn-m個なので、
　(n-m)^r+(n-m)^(r-1)*rＣ1*mＰ1+(n-m)^(r-2)*rＣ2*mＰ2+・・・
　　+(n-m)^(r-m)*rＣm*mＰm
となると思いますが、どうでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。

3パターンに切り分けて考える方法、非常に参考になりました。
ただ、この例の場合の解(=6075)を確認する手段がなく、未だ回答には至っていない状態です。

回答No.4

abyss-sym

ANo2です。
訂正します。
1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,A,Bから６つ選ぶ
これは間違いでした。本当に申し訳ありません。

1,2,3,A,Bを並び替える場合
A,Bがないとき 3^6＝729

A又はBがあるとき ●は1,2,3のいづれか
　●　●　●　●　●　の６つのうちのどこかにAかBを入れると考えます。
↑　↑　↑　↑　↑　↑
よって、3^5×6×2＝2916

ABどちらもあるとき、６つの数の並び替えだから
3^4×6C2×2＝2430

729＋2916＋2430＝6075 となります。

お礼

ご返答遅くなり申し訳ありません。

なるほど、納得してしまったんですが、違ったのですね。
何故違うのかがはっきりしてませんが、No.3のご回答と解が
同一となりました。

う～ん、奥が深い・・・
ありがとうございました。

回答No.2

abyss-sym

＞例)A,B,1,2,3から6つ取り出す。（但し、A,Bについては重複不可）
この場合は、1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,A,Bから６つ選ぶと考えればわかりやすいかと思います。
このとき、20!/(6!6!6!)です。

n個のうち、m個については重複不可とする場合も同様にすればいいかと思います。

お礼

ご返答ありがとうございます。

「1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,A,Bから６つ選ぶ」というのは
非常に参考になりました。

ただ「(6!6!6!)」というのは、どういう意味合いでしょうか。
20個から6個選ぶ場合、20P6 = 20! / 14! とはならないのでしょうか。

回答No.1

YQS02511

すみません。
重複可でしたらn個あるのでr個取り出すのは、
ｎ×ｎ×・・・×ｎ（ｒ個）＝ｎ^ｒと思うのですが。

補足

すみません。。間違えてますね。
nΠrでした。