ゼロと無限大を逆元とする群のようなものは考えられますか

質問

無限大の逆数がゼロだとすると何かあるのかなと思ったのですが・・・無限大は数ではないらしいのですが、ゼロは数ですか。

回答No.11

guuman · ベストアンサー

{0,1,∞}に対して演算xを
0x0=0,0x1=0,1x0=0,0x∞=1,∞x0=1,1x1=1,
1x∞=∞,∞x1=∞,∞x∞=∞
と定義しxに結合法則を認めても
{0,1,∞}とxは郡になりません

0x(∞x∞)=(0x∞)x∞
は
1=∞
となり矛盾するからです

{0,1,∞}とxに代えて
{-∞,0,∞}と+にした場合は
自然に+演算を定義し結合法則を認めても
(-∞)+(∞+∞)=((-∞)+∞)+∞
0=∞
と矛盾

お礼

ご解説ありがとうございます。１が無限大であるとかゼロが無限大であるというのは私の現在の理解に近いように思いました。勉強させて頂きます。

回答No.10

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

ご質問のような構成では、群は構成できません。

というのも、０が持つ特殊な性質。乗算におけるゼロ元であるということをどう考えるかです。
０がゼロ元である限り、乗法に関する０の逆元は存在できないのです。（その逆元を、無限大と呼ぶか否かに関わらず）

お礼

このゼロというのが難しいのです。正負と掛け算を考えると数直線の上で正負の間にゼロが位置しているかどうか疑問に思えてしまいます。

回答No.9

proto

回答ではなく意見みたいなものです。
横槍を入れて申し訳ないですが＃８の方が
>>ゼロと無限大を逆元とする群のようなものは考えられますか
>
>考えても時間の浪費になるだけでしょう。無意味な結果しか得られないと思います。

と仰ってますが、考察してみた結果矛盾を生じ
0の逆数が実数に組み込めない、とわかるだけでも有益な結果だと思うのですが。

経験者様ということで、素人が文句を言うのは恐縮なのですが。
ω*0=1という定義から、ωが実数でないことはわかります。ではωを実数ではない別の数として定義することにどんな問題があるのでしょうか？
実数Rに実数ではない数iを取り入れて複素数を考えることとの本質的な違いはどこにあるのでしょうか？

なにか素人にもわかりやすい、"無意味な結果"を示して頂けたらと思います。
私も質問者さんと同様、素朴な疑問を抱いています。

お礼

自分なりの勉強というのが大切と思っております。なかなかできませんが、今後ともよろしくお願いいたします。

回答No.8

ojisan7

加群の単位元がゼロです。ゼロは数ですね。無限大∞は数ではありません。ゼロに逆数が定義できないのと同様に、無限大∞に逆数は定義できません。無限大∞の逆数をゼロとすると、∞×０＝１とならなければなりませんので。数ではない∞ですが、微積分学では計算の便宜上∞＋a＝∞,∞×∞＝∞,などを定義する場合があります。しかし、∞-∞,∞/∞などは定義できません。

>ゼロと無限大を逆元とする群のようなものは考えられますか

考えても時間の浪費になるだけでしょう。無意味な結果しか得られないと思います。
∞に関連して、集合論等で使われる基数の超限数（アレフ0,アレフ等）は定義も明確ですので数の仲間に入れても良いでしょう。しかし、減法と除法には制限があります。

お礼

頂門の一針と感謝いたします。

回答No.7

tuort_sig

>無限大へと持っていくのは演算なのでしょうか。ゼロの方も同じようなことが可能なのでしょうか。

演算ではありません。操作です。無限大とゼロは似て非なるもので、対極にあるものでもありません。直感的に説明するとすれば、０＋１＝１ですが、∞＋１＝∞です。この＝は便宜上使いました（念のため。）

ゼロというのはゼロ１つしかありませんが、無限大は無限に存在します。A－A＝０ですが、B－B＝∞を満たすBが存在しないことからも、なんとなく察して頂きたいんですけど、まあ、そういうことです。

お礼

演算と操作の違いを勉強してみたいと思いました。お礼が遅れてすみませんでした。

回答No.6

katadanaoki

tuort_sigさんの回答は間違っています。

とくに、

>無限大は状態です。数は静的です。状態は動的です。

というのは、別の言葉に言い換えてまぎらわでているだけです。

お礼

私の質問がおかしいのではないでしょうか。どうもありがとうございました。

回答No.5

tuort_sig

ゼロは数です。無限大は状態です。数は静的です。状態は動的です。無限大、つまり∞のことですが、これは等式の中に入れることは通常できません。limが必要となります。この記号は、等式で扱うことのできない動的なものを静的に捉えるための記号です。早い話が、群云々とは種が異なります。無限大の逆数がゼロというのは、厳密には間違っています。無限大の逆数の極限（lim）がゼロなのです。

お礼

無限大へと持っていくのは演算なのでしょうか。ゼロの方も同じようなことが可能なのでしょうか。

回答No.4

guuman

専門家についてましたが一般人です
単なる操作ミス

お礼

ありがとうございました。できればご教示をお願い申し上げます。

回答No.3

guuman

{0,1,∞}に対して演算xを
0x0=0,0x1=0,1x0=0,0x∞=1,∞x0=1,1x1=1,
1x∞=∞,∞x1=∞,∞x∞=∞
と定義しxに結合法則を認めても
{0,1,∞}とxは郡になりません

お礼

集合が大切なのでしょうか。お礼が遅れて申し訳ございません。勉強したいと思います。

回答No.2

corpus

数でないとされる無限大から数であるとされるゼロが導かれるのが腑に落ちないのでしょうか？

お礼

ゼロも無限大も何だか分からないところが私には似ているのですが、両者を結びつける演算のようなものがあるのかお思いました。ありがとうございました。

回答No.1

corpus

ゼロは数だったと思います。

お礼

数から勉強しなおします。お礼が大変遅くなって済みませんでした。