無限は無限に有るのでしょうか？

質問

数学では無限は一つでは無いとされています。例えば、アレフ0、アレフ1、アレフ2…のように。では無限は無限に有るのでしょうか？そして、無限に有る無限も一つでは無くて、無限に有るのでしょうか？そして、その無限もまた無限に有るというような事が無限に有るという事なのでしょうか？しかし、そのような事が証明可能なのでしょうか？

回答No.8

noname#130082

すみません。超準解析云々の話は忘れてください(^^;。余計な話で、かえって混乱してしまいますね。

No.3さんの
＞それとももっとたくさんあるのか。。。
は、濃度全体の集まり、はあまりに大きすぎて集合とはみなせないので、加算無限個どころではなかったと思います。

＞＃そもそも「無限集合」全体の集合は集合なのか？
これも、大きすぎて集合とは言えません。

回答No.7

noname#130082

べき集合を作るだけが高濃度集合をつくる方法ではありません。X∪P(X)∪P(P(X))∪P(P(P(X)))∪・・・という和集合はさらに大きな集合になります。さらに、もっと先も。
ところで、これらは集合の濃度の話ですね。べき集合というのが作れることで、無限は沢山あることがすぐ証明されますが、無限は濃度だけではありません。
超準解析という方法を使えば、無限の大きさの（超）実数というのが沢山出てきて、加減乗除できます。これは濃度とは別の意味の無限ですね。
今、思いつきましたが、公理的集合論の公理自身も一階述語論理で現せますから、超準解析の方法が使えるかな？そうすると、P＾n(X) のnが無限大超自然数のような超集合もできるのかな？

回答No.6

take008

ojisan7> そんなことを考えることが数学的に価値のあることのようには思えません。

数学的価値は非常に高いと思います。むしろ数学の真髄に近いと。
実用上の価値は現段階ではなさそうですが，将来はわかりません。

回答No.5

ojisan7

既に多くの回答が寄せられていますが、ひとことだけ、述べさせて下さい。Takosanさんの回答にもあるように、連続体仮説は、ZFCとは独立であることが証明されています。このことは、極論すれば、公理系によっては、無限は、アレフ0、アレフ1、アレフ2…のように可算無限だけではなく、連続体の濃度をもたせることも可能だと言うことになります。何事も公理系次第だということです。でも、そんなことを考えることが数学的に価値のあることのようには思えません。

回答No.4

Tacosan

そもそも「アレフ」は無限なのか? という疑問を持ちつつ.
既に回答はでてますが, 自然数の集合 N に対し「ベキ集合を作る」という操作を繰り返せば P(N), P(P(N)), ... と加算無限個の無限集合が得られ, これらは対角線論法により全て異なる濃度を持ちます. 対角線論法で示すのは N と P(N) (= R: 実数の濃度) の違いが多いけど, その他も全て同じ議論.
で P(N) と P(P(N)) との間の濃度を持つ集合が存在するかどうかは結局 N と P(N) = R との間の濃度を持つ集合が存在するかどうか, つまり R の濃度がアレフ1 かどうかと同じ問題になって, ZFC においては決定不能. 実際, 「R の濃度がアレフ1」というのが連続体仮説 (CH) なんだけど ZFC + CH と ZFC + (not CH) のいずれも無矛盾な公理系であることが証明されています. ちなみに not CH の場合に R の濃度がどこにあるかという問題ですが, 実はどこにあると仮定してもよかったはず.
ただ, それだけではわけわからんので「えいっ」とばかりに beth を使うようですね. こっちの定義は単純で beth_0 = aleph_0 かつ beth_(i+1) = 2^beth_i, つまり N の濃度を beth_0 として, あとは S の濃度が beth_i ならそのベキ集合 P(S) の濃度は beth_(i+1). よって P(N) = R の濃度は beth_1.
ん～, gimel とか daled ってどこで使うんだろ....

回答No.3

kabaokaba

>そんな、雑談みたいな答えではなくて、証明してもらえますか

証明も何も。。。アレフを知ってれば
すぐ構築できませんか

(1)任意の無限集合Aに対して
そのベキ集合P(A)の濃度はAより真に大きい

(2)任意の集合（有限でも無限でもよい）に対して
そのベキ集合は必ず存在する

この二つから，自然数全体の集合Nあたりを
スタートにして
P(N) P(P(N)) P(P(P(N)))・・・
とすれば
真に濃度が増大する無限列が
帰納的に構築できます．

これだけで
無限は少なくとも自然数と同等の無限個あると
いうことは分かります．
問題は・・・自然数個だけなのか
それとももっとたくさんあるのか。。。
濃度がP(N)とP(P(N))の濃度の間にあるような
別種の無限があるのか・・・

＃そもそも「無限集合」全体の集合は集合なのか？
＃という疑問もありますが，集合論での
＃「集合の定義」を覚えてないのでわかりません

回答No.2

take008

無限集合 X の部分集合の全体 P(X) の濃度は X の濃度より大きくなります。
X_0,0=N（自然数全体）
X_m,{n+1}=P(X_m,n)
X_{m+1},0=X_m,0＋X_m,1＋…　（＋は和集合）
のようにして続けられます

回答No.1

noname#69788

無限は、無限にあります。

お礼

数学カテなんですから・・・

そんな、雑談みたいな答えではなくて、証明してもらえますか？