逆数との対応について、有限と無限

質問

１から０までの逆数をとると、１から∞になりますが、１から０までを１から∞に対応させることは可能ですか。いから０は有限ですが、１から∞のほうは無限のように思えるのですが・・・

回答No.5

betagamma

すばらしい質問ですね！「対応」という考えをすることは、まさにその通りなのです。

さて、直接質問に答えることにしますと、
＞(0,1)は、有限ですが
ここが違うのです。区間(0,1)は有限ではありません。区間(0,1)は、実数の世界では、無限と考えるのです。無限と考えるからこそ、(0,1)→(1,∞）に一対一対応が作れるのです。
区間(0,1)の間には、無限個の実数があります。直感的に考えると、たとえば、0.111111...と1が無限に続く数があるとします。（これは、分数1/9に対応するのですが）
これより、少しだけ大きい数というのを考えて見ましょう。早い話が、0.111111...と続く1のうち、どこかで、2を入れればいいわけですが、桁は無限個続くわけですから、この数の隣の数というのは存在せず、2の入れ方は無限個ありますよね。
このように、実数の世界で考えたとき、(0,1)の中には、無限個の数が存在するわけです。

数学では、無限も、何種類かに分けて考えます。
そのとき、まさにkaitaradouさんのおっしゃった「対応」という考え方を使います。
1,2,3,....と無限に続く自然数と一対一対応がつくものを可算無限といいます。
直感的には理解しがたいですが、実数の場合、(0,1)の中にある実数とすべての実数の間には一対一対応がつく、すなわち、(0,1)の中にはすべての実数と同じだけの数の実数が含まれていると考えます。

カントールの対角線論法とか、コンパクト集合とか、検索してみてください。

お礼

ご丁寧にご教示を頂きありがとうございます。勉強させて頂きます。

補足

感謝≧サンクスポイント

回答No.4

ishun_xeno

No. 2 です。
少々強引ですが、以下のようにして [0,1]→[1,+∞) となる関数を作ることができます。

関数 f(x) を、下記のように定めます：
　x=1/n (n=1, 2, 3, ... ) のとき　f(x)=1/(n+1)
　それ以外のとき f(x)=x
（上段が分かりにくいかもしれませんが、f(1)=1/2, f(1/2)=1/3, f(1/3)=1/4, ... ということです）
これで、f: [0,1]→[0,1) の関数ができます。

g(x)=1-f(x) と定めます。0 から 1 の区間が逆転するので、g: [0,1]→(0,1] の関数です。

あとは、h(x)=1/{g(x)} とすれば、h: [0,1]→[1,+∞) のできあがり。

ポイントは、x=1 という1点が減っているのに値を対応させることができる、f(x) の作り方です。
No. 3 の方も述べている、無限の不思議さです。

お礼

私には猫に小判のご教示ですが，座右において勉強の励みとさせて頂きます。どうもありがとうございました。

補足

感謝≧サンクスポイント

回答No.3

atom40

無限と有限のほんとうの意味がわかってきている、いい質問だと思います。

無限の大きさにはいろいろあります。
まず、自然数あるいは有理数のｎ乗の無限。
その次に、実数またはそのｎ乗の無限。
その次に、実数の∞乗の無限。
この３つの無限は、それぞれ別のレベル（濃度）で、その途中の大きさはないのです。
（他のレベルもありますが、ここでは話を単純化してありますので省略します）

質問者さんの無限の概念は、０から１までも１から∞までも同じ実数の無限というレベルです。
これはたとえば、自然数の無限と、偶数＝自然数×２の無限が同じレベルの無限だということと同じです。矛盾しているように見えますが、そういうことです。

お礼

ご丁寧に有難うございます。改めて勉強させて頂きます。

補足

感謝≧サンクスポイント

回答No.2

ishun_xeno

質問の内容が分かりにくいのですが、下記のとおりでいいでしょうか？

　　逆数をとることは、(0,1]→[1,+∞) の関数である。
　　[0,1]→[1,+∞) となる関数を作ることはできるか？

補足

関数としてご教示いただければと思います。

回答No.1

sunasearch

１から０は、区間は有限ですが、間の点の数は無限にあります。

ですから、おっしゃられる対応は可能と思います。

お礼

ご回答有難うございます。勉強してみます。

補足

感謝≧サンクスポイント