絶対値の証明？

質問

数IIの問題集を解答している時に、|A|＝|B|の時、A＝±Bという記述が出てきて、なぜそのようにいえるのかが分からず、困っています。
どうして、このようにいえるのでしょうか？

回答No.1

oobdoo · ベストアンサー

正負に分けて考えます。
1. A≧0かつB≧0
|A|=A, |B|=Bより,
|A|=|B|⇒A=B
2. A≧0かつB＜0
|A|=A, |B|=-Bより,
|A|=|B|⇒A=-B
3. A＜0かつB≧0
|A|=-A, |B|=Bより,
|A|=|B|⇒A=-B
4. A＜0かつB＜0
|A|=-A, |B|=-Bより,
|A|=|B|⇒A=B

と言うわけで、|A|=|B|⇒A=±Bが言えました。

大雑把に言えば、|A|=p (p≧0)を満たす実数Aはpもしくは-pということが鍵になっています。

お礼

迅速かつ適切な対応に感謝します。
おかげで助かりました。

回答No.3

quantum2000

蛇足ながら，誤解しているといけませんので，補足を１つ．

Ａ ＝ ±Ｂ
というのは，
Ａ ＝ ＋Ｂ　または　Ａ ＝ －Ｂ
ということです．

これは，ちょっと考えると当たり前のことかもしれません．

｜Ａ｜ ＝ ｋ
とおくと，
Ａ ＝ ＋ｋ　または　Ａ ＝ －ｋ
ここで今は，
｜Ｂ｜＝ｋ
でもあるから，
Ｂ ＝ ＋ｋ　または　Ｂ ＝ －ｋ

つまり，
ＡとＢは符号の違いだけで，「数値」は同じだから，結局，
Ａ＝±Ｂ　（または，Ｂ＝±Ａ）
と表される訳です．

ついでに，蛇足の蛇足で・・・

　　　　　　｜Ａ｜ ＝ ｜Ｂ｜
より，
　　　　　｜Ａ｜^2 ＝ ｜Ｂ｜^2
すると，公式（｜ｘ｜^2 ＝ ｘ^2 ）より
　　　　　　　 Ａ^2 ＝ Ｂ^2
　　　Ａ^2 － Ｂ^2 ＝ ０
（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ） ＝ ０
ゆえに，
Ａ ＝ －Ｂ　または　Ａ ＝ ＋Ｂ
なんちゃって？！？

お礼

迅速かつ適切な対応に感謝します。
とても分かり易い「蛇足」でした。

回答No.2

Fishermans

僕も昔それで悩みました。
が、実はこれ、当たり前のことを言ってるんです。
|Ａ|＝|Ｂ|のとき、Ａ＝±Ｂというのは
“ＡとＢの絶対値が同じなら、Ａは+Ｂ、－Ｂである”
ということをいってます。
例えば、
“|ｘ|＝|５|のとき、ｘ＝±５”とは
であることは、実際に、ｘに±５を入れてみれば分かると思います。
数直線を考えれば、イメージがわきやすいと思います。
証明は、＃１さんがやってくれてます。

お礼

迅速かつ適切な対応に感謝します。
数直線で考えることまで、発想がいきませんでした。