論理と集合 証明

質問

リンク数学演習I・A＋II・B受験編の問題の解答をお願いします。

(問題)《倍数であることの証明》
pは奇数とする。
(1)　pの4乗－１が16で割り切れることを示せ。
(2)　pが3で割り切れないとき、pの4乗－1が48で割り切れることを示せ。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

pは奇数であるので、0以上の整数nを用いて2n+1と表わせる。

(1)
p^4-1=(2n+1)^4-1
=16n^4+32n^3+24n^2+8n+1-1
=16(n^4+2n^3)+8n(3n+1)
16(n^4+2n^3)は明らかに16で割りきれる。
8n(3n+1)は、nが偶数のとき16で割りきれる(8nが16の倍数だから)。
8n(3n+1)は、nが奇数のとき、3n+1の部分が偶数となるので、全体は16で割りきれる。
よって、pが奇数のとき、p^4-1は16で割りきれる。

(2)
同じような考え方でチャレンジしてみてください。

お礼

分かりやすい解答ありがとうございます。

(1)と同じようにしたら(2)も解けました！！

本当にありがとうございました。