絶対値の証明

質問

|a＋b＋c | ≦|a|＋|b|＋|c| を証明せよ

この問題の前に、|a+b|≦|a|+|b|の証明を使って
とかいていますが

|a＋b＋c | ＝|a＋（b＋c ）| ≦|a|＋|b＋c |
なので、≦|a|＋|b|＋|c|

となってますが、よくわからないので、丁寧に詳しく解説してください

回答No.1

wakko777 · ベストアンサー

ａ＝Ａ、ｂ＋ｃ＝Ｂと置くと、
｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝｜ａ＋（ｂ＋ｃ）｜＝｜Ａ＋Ｂ｜　となります。
｜ａ＋ｂ｜≦｜ａ｜＋｜ｂ｜　を使うと

｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝｜Ａ＋Ｂ｜≦｜Ａ｜＋｜Ｂ｜　となります。
ＡとＢを元に戻して
｜ａ＋ｂ＋ｃ｜≦｜ａ｜＋｜ｂ＋ｃ｜　　ここまでわかります？

で、今度は｜ｂ＋ｃ｜についても同様に
｜ｂ＋ｃ｜≦｜ｂ｜＋｜ｃ｜　が言えるので　　（｜ａ＋ｂ｜≦｜ａ｜＋｜ｂ｜の文字が変わっただけ）
｜ａ｜＋｜ｂ＋ｃ｜≦｜ａ｜＋｜ｂ｜＋｜ｃ｜　となります。

よって、｜ａ＋ｂ＋ｃ｜≦｜ａ｜＋｜ｂ｜＋｜ｃ｜

回答No.2

yyssaa

|a＋b＋c | ＝|a＋（b＋c ）| ≦|a|＋|b＋c |
この式の|a＋（b＋c ）| ≦|a|＋|b+c| は
|a+b|≦|a|+|b|のbを(b+c)に置き換えた
式です。そして|b+c|は|a+b|≦|a|+|b|と
同様に|b+c|≦|b|+|c|となります。
従って、つなげて書くと
|a＋b＋c| ＝|a＋（b＋c）| ≦|a|＋|b＋c|
≦|a|+|b|+|c|となり、両端の式から
|a+b+c|≦|a|+|b|+|c|となるわけです。