絶対値の性質？

質問

こんにちは。

下の文なのですが、|a|<1,|b|<1という条件で、
|ab|<1となるわけを教えてください。
問題の解答の答えなのですが、なぜこう言えるのかわかりません。

|a|<1,|b|<1より|ab|<1

回答No.6

nubou · ベストアンサー

１＜０とすると矛盾するから０＜１としたが
乗法公理における１の定義で１≠０とされているから０≦１としなかった

（－１）・（－１）＝１の証明：
加法公理により
１＋（－１）＝０
両辺に－１をかけて
（－１）・（１＋（－１））＝（－１）・０
上の結果と分配公理により上式は
（－１）・１＋（－１）・（－１）＝０
乗法公理により上式は
（－１）＋（－１）・（－１）＝０
加法公理により上式は
（－１）・（－１）＋（－１）＝０
両辺に１を加えると
（（－１）・（－１）＋（－１））＋１＝０＋１
加法公理により上式は
（－１）・（－１）＋（（－１）＋１）＝１＋０
加法公理により上式は
（－１）・（－１）＋（１＋（－１））＝１
加法公理により上式は
（－１）・（－１）＋０＝１
加法公理により上式は
（－１）・（－１）＝１

お礼

たびたびありがとうございます
題意は理解できたのですが、nubouさんの回答を見て
更に奥深いものなんだと感じました。
ご丁寧に。またよろしくお願いします。

回答No.7

Mell-Lily

|a|<1,|b|<1 ⇒ |ab|<1

この命題の意味は、「-1より大きく、1より小さい、どんな2数を掛け合わせても、その結果は、-1より小さくなることも、また、1より大きくなることもない」といういことです。

これは、正しいですよね？

お礼

たびたび回答ありがとうございます

＞1より大きく、1より小さい、どんな2数を掛け合わせても、その結果は、-1より小さくなることも、また、1より大きくなることもない」といういことです。

これは、正しいですよね？

あ、言われてみれば正しかったです。単純なことでしたね(^^ゞ。
またよろしくお願いします。

回答No.5

nubou

｜ａ｜の定義は０≦ａのとき｜ａ｜＝ａでありａ＜０のとき｜ａ｜＝－ａです
｜ｂ｜の定義は０≦ｂのとき｜ｂ｜＝ｂでありｂ＜０のとき｜ｂ｜＝－ｂです
これと実数の
加法公理、乗法公理、分配公理、順序公理を使えば不等式を導くことができます
たとえば

０＜１の証明：
１＜０
とすると順序公理により両辺に（－１）を加えて
１＋（－１）＜０＋（－１）
加法公理により上式は
０＜（－１）＋０
加法公理により上式は
０＜－１
よって順序公理により
０・（－１）＜（－１）・（－１）
ここで０・（－１）＝０と（－１）・（－１）＝１がいえれば
上式は
０＜１
よって矛盾する
従って０＜１である

０・（－１）＝０の証明：
加法公理により０＋０＝０であるから
０・（－１）＝（０＋０）・（－１）
分配公理により上式は
０・（－１）＝０・（－１）＋０・（－１）
両辺に－（０・（－１））を加えると
０・（－１）＋（－（０・（－１）））＝（０・（－１）＋０・（－１））＋（－０・（－１））
加法公理により上式は
０＝０・（－１）＋（０・（－１）＋（－（０・（－１）））
加法公理により上式は
０＝０・（－１）＋０
加法公理により上式は
０＝０・（－１）
すなわち
０・（－１）＝０

（－１）・（－１）＝１の証明：
加法公理により
１＋（－１）＝０
両辺に－１をかけて
（－１）・（１＋（－１））＝（－１）・０
上の結果と分配公理により上式は
（－１）・１＋（－１）・（－１）＝０
加法公理により上式は
（－１）＋（－１）・（－１）＝０
加法公理により上式は
（－１）・（－１）＋（－１）＝０
両辺に１を加えると
（（－１）・（－１）＋（－１））＋１＝０＋１
加法公理により上式は
（－１）・（－１）＋（（－１）＋１）＝１＋０
加法公理により上式は
（－１）・（－１）＋（１＋（－１））＝１
加法公理により上式は
（－１）・（－１）＋０＝１
加法公理により上式は
（－１）・（－１）＝１

回答No.4

hinebot

|a|<1 の両辺に|b|を掛けます。
このとき、|b|>=0 ですから、不等号の向きは変わることはありません。
すると、
|a||b|<|b|
となります。
|a||b|=|ab| （絶対値をとってから掛け算したものと、先に掛け算してから絶対値をとったものは等しい）
ですから、
|ab| < |b| となります。 |b|<1 ですから、
|ab| < |b| < 1 で、当然、|ab|<1 が言えます。

お礼

たびたびありがとうございます
すっごい簡単なことなんですね。わかると楽しいですね。
またよろしくお願いします。

回答No.3

Singollo

0<=a,b<1の場合は、もしab>=1とすると、a>=1/bよりa>1となって矛盾するので、0<=ab<1なのは分かりますね?
あとは同様に、0<=a<1, -1<b<0の場合、-1<a<0, 0<=b<1の場合、-1<a<0, -1<b<0の場合と考えていけばいいと思います

お礼

回答ありがとうございます。
単純なことですけど、むずかしいですね。でもおかげで理解深まりました。

今回はポイントできなく、申し訳ありませんでした。

回答No.2

mokonoko

絶対値が１未満同士なら積は１より大きくなりません。
0.1x0.1
0.1x0.9
0.5x0.5
0.9x0.9
-0.1x0.1
-0.9/(-0.9)
どれも結果は１未満です。
数学的な表現ではありませんが、実際に場合に当てはめて考えましょう。

ちなみに|a|<1は-1<a<1と展開できます。
理解できないなら符号も含めて当てはめて見ると良いでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

やっぱり０．？？？を代入すればよかったのですね。
自信になりました。

今回はポイントできなく、申し訳ありませんでした。

回答No.1

sPP

|a|<1 より 0<|a|<1
よって不等式の両辺に|a|を掛けても不等号の向きは変わらない。

|b|<1 の両辺に|a|を掛けて、
|a||b|<|a|
絶対値の性質 |a||b|=|ab| と与えられた条件 |a|<1 より、
|ab|<1

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど。単純なことだったんですね。
今回はポイントできなく、申し訳ありませんでした。