半径Rの円の中に同確率で分布する２点間の距離がR以下である確率

質問

無線通信の隠れ端末問題という問題について考えて
いたら次のような数学的問題にぶち当たりました。

「半径Rの円(円C)の中に2つの点A,Bを置く。
(2点を円の中のどこに置くかはランダムとする。)

この時、その2点間の距離がR以内である確率を求めよ。」

現時点での私の考え方は以下の通りです。
まず、円Cを中心とするX,Y座標を描き、
ひとつの点Aを置くとき、その点が円Cの中心から
xとなる確率は
半径(x+Δx)の円と半径xの円の間の面積が
π((x+Δx)^2-x^2)であり、その面積と円全体の面積の比から
π((x+Δx)^2-x^2)/πR^2=2xΔx/R^2

次に点AがCの中心からxの距離にあるときに、
点Aから半径Rの円を描き、その円(円A)と円Cの重なる領域の範囲を求め、それを円Cの面積で割ることで
点BがAから半径Rの中に入る確率が求められ、

それは
円Cと円Aの交点のY座標が大きいほうを交点を点g、gからX軸に下ろした垂線とX軸の交点を点f、円CとX軸の交点(Xがプラスの方)を点eとし、角gOeをθとすると
円CのOgeからなる扇形から三角形Ogfを引いたものの4倍となる
つまり重なる部分の面積は
4{θ(R^2)/2-(1/2)Rcosθ*Rsinθ}となり
点BがAから半径Rの中に入る確率はこれを円Cの面積πR^2で割った
2*(θ-cosθ*sinθ)/π

よって、点Aが円Cの中心Oからxの距離にあり、
かつ、点Bが点Aから距離R以内の位置にある確率は
(2xΔx/R^2)*{2*(θ-cosθ*sinθ)/π}

これをx=2Rcosθの条件からdx=-2Rsinθdθと置換して積分すると(x:0→R、θ:π/2→0)

とやったのですが、結果1になってしまいました。
どこで間違ってしまったのでしょうか。
あるいは全く別の手法でサクリと解けないでしょうか。

みなさんの知恵をかしてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

ん～と, 最後の x を θ に変換するところで範囲を間違えているような気がするんですけど....
x = 2R cos θ なら, x: 0→R に対して θ: π/2→π/3 かなぁ?

お礼

そうですね！！

θがπ/3の時点で点Aが円Cの円周上に来てますね。

計算すると1-(3√3/4π)　(√3はルート3)
になりました。

この値はπを3.141953とすると0.586550752となり、
シミュレーションで求めた値とかなり近いものになりました。

すっきりしました。
ありがとうございました。

回答No.1

sanori

小生、面積を求める問題とか計算が苦手なのですが、ちょっと気になった点を。

２つの円が重なった部分の面積を求めて、それを大きい円の面積で割って確率を求める、という発想は非常に正しいと思います。
しかし、それが
2*(θ-cosθ*sinθ)/π
と、されていますが、
小さい円の中心が、大きい円の中心からＲ／２までのときは確率は１になり、Ｒ／２から３Ｒ／２までが確率が０～１の範囲で減少していき、３Ｒ／２を越えると確率ゼロ、という３区間の場合分けが必要かと。

あと、最後の積分のところが私自身が理解できてなくて、とんちんかんかもしれませんが、
大きい円の中心から遠ざかる距離に比例して、小さい円の中心Ａがとりうる場所が増加していきますので、その重み付け（中心からの距離を、その距離における確率に掛け算）が必要になるかと思います。

補足

返答ありがとうございます。

問題の書き方自体が悪かったかもしれません。文字だけで表すのが難しかったもので、混乱させてすいません。

円Cと点Aを中心とする円Aの半径は同じRです。

円Cから離れるほど点Aの取りうる範囲が広がるという
部分については、点Aが中心からxだけ離れた位置にある確率　2xΔx/R^2の中に織り込んでいるつもりなのですが、もしかしたら間違っているかもしれません。

しかも、2xΔx/R^2という表記は分かり辛いですね。
2*(エックス)*(デルタ)*(エックス)*(Rの2乗)という積もりで書いていました。