半径ｒの円で、定弦ＡＢ(＝２ｋ)がある。

質問

半径ｒの円で、定弦ＡＢ(＝２ｋ)がある。
円周上の動点ＰがＡＰ×ＢＰ＝２ｒ(ｒ－√(ｒ^2-k^2))
となるとき、点Ｐの位置を求めよ。

点Ａ（ｒ，０）とする。点Ｂ（ｒcosβ，rsinβ）
点Ｐ（rcosα，rsinα）とおいて、
(ＡＰ・ＢＰ)^2=4r^4(1-cosα)(1-cos(β-α))
ここからの処理に行き詰まりました。
よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

#1さんの言われているとおり、なるだけ対称性を使える形にした方が分かりやすいと思います。
また、円周上の点は角度によって決められることを意識した方が展開が楽かもしれません。

たとえば、
Ａ(r*cos(α), r*sin(α))
Ｂ(r*cos(-α), r*sin(-α))＝ (r*cos(α), -r*sin(α))

と表すと、x軸に対称な形となります。
また、αについては、sin(α)＝ k/r, cos(α)＝√(r^2- k^2)/rという式が成り立ちます。

あとは、点Ｐ(r*sin(θ), r*cos(θ))とおきます。
対称性から 0≦ θ≦ πと範囲をしぼれますね。

条件式にそれぞれの値をあてはめて計算します。
αの条件式を用いたりして整理すると、最後は因数分解できてしまいます。
ここでは加法定理の応用（積和・和積公式など）を使います。

最後は「あ！」という答えになると思います。＾＾

√(r^2- k^2)というのは、そのままだとやっかいですね。
図形的には、円の中心から弦ABに下ろした垂線の長さだということはわかりますよね。＾＾

回答No.3

mister_moonlight

単なる恒等式の問題じゃないの？

ＡＢ＝2k、 A(r*cosα、rsinα)、B(-r*cosα、rsinα)　(0≦α＜π)とすると、条件から、r*cosα＝k　‥‥(1)
Ｐ(r*cosθ、rsinθ)　(0≦θ＜π)とすると、右辺＝(2r＾2)*(1-sinα)‥‥(2)
(左辺)＾2＝{4r＾2}*{1-cos(θーα)}*{1-cos(θ＋α)}‥‥(3)
(左辺)＾2＝(右辺)＾2　から、(1-sinα)＾2＝{1-cos(θーα)}*{1＋cos(θ＋α)}‥‥(4)
これが、0≦α＜πの任意のαについて成立するから、(必要条件として)α＝0を代入すると、1＝1-cos＾2θであるから、θ＝π/2.
逆に、θ＝π/2の時、(4)は恒等に左辺＝右辺となるから、十分条件でもある。よって、Ｐ(0、r)
後は、π≦θ＜2πについても配慮すると、Ｐ(0、±r)

ＡとＢをx軸に対称にとっても良いが、いずれにしても、ＡとＢの中点と原点Ｏを結ぶ直線を延長して円と交わる点が求めるＰ。

座標で図を使う場合、一般性を失わない限りに都合よくとると良い。

回答No.1

spring135

＞点Ａ（ｒ，０）とする。点Ｂ（ｒcosβ，rsinβ）
　点Ｐ（rcosα，rsinα）とおいて

扱いにくい点の取り方ですね。対照性を利用すべきです。

もし答えがＰ（2a-r,2√(a(r-a)))なら以下を参照してください。

点Ａ（a，√(r^2-a^2)）,Ｂ（a，-√(r^2-a^2)）,P(x,y)にとる

k=√(r^2-a^2)

(ＡＰ・ＢＰ)^2/4=r^2(x-a)^2=ｒ^2(ｒ－√(ｒ^2-k^2))^2

これよりx=2a-r, y=2√(a(r-a))

お礼

ありがとうごさいます。
点Ａ，Ｂの置き方として、おっしゃる通り
Ｘ軸に対称においた方が、良いように思いました。
点P(x,y)とおいて、ＰＡとＰＢを２点間の距離から求めていくのだと
思うのですが、計算の処理がうまくできません。
よろしければこのあとをお願いします。