x^2+y^2=r^2(rは円の半径)上の点P(x

質問

x^2+y^2=r^2(rは円の半径)上の点P(x1,y1)におけるこの円の接線の方程式は、x1x+y1y=r^2です。

この時、x1x+y1y=r^2ならば、半径がrの円の接線の方程式である。と、逆にした時に成立しない理由を教えてください。

回答No.2

jcpmutura

理由は
点P(x1,y1)が
x^2+y^2=r^2>0の円周上の点でない場合すなわち
x1^2+y1^2≠r^2
の場合
x1x+y1y=r^2
は
x^2+y^2=r^2の円の接線とならない
から

x1^2+y1^2≠r^2>0
x1x+y1y=r^2
とする
この直線が円の接線だと仮定すると
直線の法線ベクトルは
(x1,y1)
となる
x1x+y1y=r^2
と
x^2+y^2=r^2
の円の交点を
(x,y)
とするとそこでの法線ベクトルは
(x,y)
だから
円の法線(x,y)と直線の法線(x1,y1)は
平行でなければならないから
(x,y)=a(x1,y1)
x=ax1
y=ay1
となるaがある
r^2=x^2+y^2=a^2(x1^2+y1^2)
=r^2=x1x+y1y=a(x1^2+y1^2)
だからr>0だから
a^2=a≠0だから
a=1だから
r^2=x1^2+y1^2≠r^2となって矛盾するから

x1^2+y1^2≠r^2>0
のとき
x1x+y1y=r^2
は
円x^2+y^2=r^2の接線ではない

回答No.1

asuncion

円の存在とは関係なく、
x1x + y1y = r^2
という関係を満たす直線は無数にあるから。

補足

この式が、作れるならば円の接線だとは決まらないのですか？？x1、y1、r^2は定数なのに…