素数の疑問と最小公倍数の疑問

質問

先日中学２年生の甥から以下のような質問を受けました。
「素数って約数がちょうど２個の数の事？」
うーむ。確かにこれなら１を除くことができるわけですし、いいかな？と思ったのですが、実際のところどうなのでしょう？素数の正確な定義に照らし合わせるとどうなるかが知りたいです。「素数とは約数がちょうど２個（１とそれ自身）の自然数」とはっきりと答えても正しいのでしょうか？
「そうだ！！」と答えられない中途半端な学力が情けないです。

後、これは私の体験談というか、中学生のころ思ったんだけれども実行しなかったことなのですが、例えばテストで「６と８の最小公倍数を求めよ」と言う問題があったとき、答えを「０」としてはならないのでしょうか？そのときは「テストで聞かれているから」ということで「２４」と答えていたのですが。実際、「０」と答えた場合マルはもらえないでしょうか？数学の教師の方どうでしょう？私の記憶では、問題文には特に「自然数で」とは書かれていなかったと思います。いや、書かれていたかも？もしそうなら、私の単なる勘違いでいいのですが。
中学生のころちゃんと教師に聞いとけば、ここまで引きずることは無かったのにちょっと後悔しています。

恥を忍んで伺います。よろしくお願いいたします。私の疑問を一刀両断にしてください！

回答No.2

oodaiko · ベストアンサー

手近にある整数論の本で再確認しました。

「整数論」ヴィノグラードフ（共立全書）より
「１より大きいどんな整数も、少なくとも２つの約数、すなわち１とそれ自身をもつ。これら２つですべての正の約数が尽くされているような整数は、素数と名付けられる。」
とあるので
「素数とは約数がちょうど２個（１とそれ自身）の自然数」
と定義して構わないと思います。

２つめの疑問に関しては
「いくつかの与えられた数のすべての倍数であるようなどんな整数も、それらの公倍数と名付けられる。最小の正の公倍数は最小公倍数とよばれる。」（同上書より）

と言うわけで最小公倍数の定義の中にすでに「自然数であること」と言う条件が含まれています。
ですから Magoichi さんが「０」と解答して「『自然数で』とは書かれていなかった」と主張したとしても「授業を聞いていなかったな」と張り飛ばされるのがオチだったことでしょう(^^;

お礼

oodaikoさん、どうもご回答ありがとうございます。

♪「１より大きいどんな整数も、少なくとも２つの約数、すなわち１とそれ自身をもつ。これら２つですべての正の約数が尽くされているような整数は、素数と名付けられる。」

なるほど。こういう内容が知りたかったです。早速甥にもメールし、私も整数論を購入してみます。
ところでいつも疑問に思うことですが、なぜ簡単な方が定義として残らないのでしょうか？「素数とは約数がちょうど２個の自然数」の方がわかりやすいと思うのですが。その辺がちょっと一般数学素人が立ち入りにくい要因の一つになっていると思います。
なるほど数学は厳密さが重要視される学問だと思います。例えば厳密な意味では「実数とは数直線上の点全てである」と言う風にはいかないと思います。しかし、今回質問した件では、「約数がちょうど２個」と言う点で全て要約されて然るべきと思うのです。すみません。愚痴ってしまいました。
♪「いくつかの与えられた数のすべての倍数であるようなどんな整数も、それらの公倍数と名付けられる。最小の正の公倍数は最小公倍数とよばれる。」（同上書より）

うわっ！やっぱ私、授業聞いてなかったか！！
ん？えーと、すみません。「・・・全ての倍数であるようなどんな整数も、それらの公倍数と名付けられる。」「最小の正の公倍数は最小公倍数とよばれる。」
公倍数が整数と定義されているなら、そのうち最小なものでも、やっぱり「整数」としか定義されていないのではないでしょうか？あれ？？でも「正の」公倍数と言うことは１以上と言うことになるから、つまり、公倍数は整数（もちろん０も含む）なのに、最小公倍数となると、いきなり（！）「正の」となって、自然数になるということでしょうか？
うわー。こんなことが中学生の時の教科書に書いてあったかは甚だ疑問です。
公倍数なら０を含むのに、最小公倍数なら１以上とは！！
テストのためにこじつけたとしか思えないです！

どうもご回答ありがとうございました。

回答No.5

puni2

おお，さすがnozomi500さん，思っていることをうまく説明していただきました。
>「正多面体とは？」の定義で、実際には正4,6,8,12,20面体しか存在しないのだから、それを定義すればいい、とは思わないでしょ
明快な説明ですね。
結局，「何のために最小公倍数なるものを考えるのか」ということですよね。
「数学は自由だ」といった数学者がいたような気がしますが，で実際どう定義しようと自由といえば自由なわけで，それこそ誰かの思いつきで定義しても，それが受け入れられさえすればいいのでしょうが，それは大学以上の数学だと思います。
とりわけ小・中学校では，なんでもいいからこういうふうに定義されてるんだ！と天下り的に済ますよりも，何らかの意味づけが出来たほうがベターですね。

前回の回答を書いたあと，隣の部屋の奥に3年分の中学数学の教科書（教育出版）があるのを思い出し，ひっぱりだして見てみました。昭和61年3月31日文部省検定済み，平成3年2月10日発行となっています。
第1章が整数，その第2節が公約数と公倍数。そのあと，第2章が正負の数となっています。
公倍数の単元の導入部はこんなふうになっています。
「いくつかの整数に共通な倍数が，それらの和の公倍数である。公倍数は無数にある。公倍数のうちで，0を除いた最小なものを最小公倍数という。
例1　4と6の最小公倍数を求めてみよう。
4の倍数は
　0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ……
6の倍数は
　0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ……
であるから，4と6の公倍数は，
　0, 12, 24, 36, ……
となる。
したがって，4と6の最小公倍数は12である。
（ここに集合の図があり，共通部分に　0　12　24　36　…と書かれている）
例1から分かるように，4と6の公倍数は，最小公倍数12の倍数になっている。最小公倍数が分かれば，公倍数はその倍数として求められる。（以下略）」

他社も同様だと思います。考えてみれば当然で，なにしろ文部省（文部科学省）の検定を受けているわけですから，「0を除く」を忘れたら検定に通らないでしょう。
ここまで書いて「0を除く」ことを示している以上（なにしろ例題まであるのだから），試験で0と答えても認められないでしょうね。

小学校でやったかどうかは，その時その時の指導要領によって違います。上で紹介した教科書や，その前の世代（私が習った時）では，小学校と中1と2回出てきています。現在は授業時間が減っていることもあり，原則として小学校だけのようです。

あと，素数の定義の仕方ですが，結果的には「約数が2個」でも「1とその数自身だけ」でも同じことなんですが，どちらが自然かと考えると，私もnozomi500さんのおっしゃるように「1とその数自身」に1票です。
「約数が2個」のほうが簡潔かもしれませんが，特に小・中学校の数学教育ということを考えると，定義のもつ意味というのが大事になってきます。
正負の数の計算規則，たとえば負×負＝正にしても，単に計算の規則として押しつけるのではなく，「どう定義していくのが自然か」という観点で，いろいろな実例を上げたりしながら導入していっています。
累乗の指数が負や小数などになる場合も，指数法則の一貫性などを考えさせつつ，どのように拡張するのが自然か，ともっていきます。
nozomi500さんの繰り返しになりますが，「約数が2個」だと，「2個だから何？」「なんで2個だけ考えるの，約数が7個の数には名前は無いの？」ということになるかもしれません。
意味を大事にするという立場からいえば，「1とその数自身だけ」を定義にして，「結果的に約数は2個」ともっていくほうが自然だと思います。

ちなみに，前述の教科書でも同様の展開です。
「37の約数は1と37だけである。37のように，1より大きい整数で，1とその数のほかに約数がないものを素数という。
問1　1から10までの整数の約数を調べ，右の表に書き入れよ。また，10以下の素数を全部いえ。
上で調べたことからもわかるように，素数は約数を2つだけもつ整数であるということもできる。1は素数ではない。」

No.2へのお礼で
>なぜ簡単な方が定義として残らないのでしょうか？「素数とは約数がちょうど２個の自然数」の方がわかりやすいと思うのですが。その辺がちょっ
>と一般数学素人が立ち入りにくい要因の一つになっていると思います。
とありますが私に言わせればこれもオーバーというか，必要以上に数学を悪者にしたてているように感じられます。
簡単かどうかというより，曖昧な定義（たとえば「約数の少ない数を○○という」みたいな）でなければ，必ずしも簡単でなくてもいいと思います。
今回の場合，「約数が2個」でも「1とその数自身だけ」でも結果的には同義なのですが，最初から「約数がちょうど2個」と定義するのは，少なくとも小・中学校においては，あまりにも唐突です。
確かに字数でいうと「約数が2個」のほうが短いですが，何でも短ければよいというものでもないでしょう。

Magoichiさんは，こちらのほうが分かりやすいとお感じのようですが，それは国語の問題というより，数学的な考え方の問題だと思います。
(1)「2個」の意味（1とその数自身）を既に知っているから。あるいは，知らなくてもすぐにピンとひらめくから。
か，逆に
(2)テストで正答が出さえすれば意味なんてどうでもよい，という姿勢が数学学習の基本にあるから。
のどちらか（両方？）ではないでしょうか。（前回の「言いがかり」といい，失礼な言い方が続きましたことをお許し下さい）

お礼

puni2さん、再度のご回答どうもありがとうございます！！

＞前回の回答を書いたあと，隣の部屋の奥に3年分の中学数学の教科書（教育出版）があるのを思い出し，ひっぱりだして見てみました。
＞公倍数は無数にある。公倍数のうちで，0を除いた最小なものを最小公倍数という。

わざわざお手数かけましてありがとうございます。うーむ。教科書にもきっちり０を除いたという記述があったということは、完全に私の記憶違いですね。ご迷惑おかけしました。

＞ここまで書いて「0を除く」ことを示している以上（なにしろ例題まであるのだから），試験で0と答えても認められないでしょうね。

はい。これで完敗です。私の知人で数学のテストが受ける人がいれば、これからは試験で０を書かないように促します。

＞意味を大事にするという立場からいえば，「1とその数自身だけ」を定義にして，「結果的に約数は2個」ともっていくほうが自然だと思います。

なるほど。確かに意味と結果と言う観点からすれば、私が思っていた「約数がちょうど２個」というのは、知ってたらこそ言えたのかもしれません。
初めて習うときには、「１とその数自身だけ」と習うよりは、１を素数に加えないのなら、「ちょうど２個」と教えられた方がわかりよいと思っていました。

よって、

＞(1)「2個」の意味（1とその数自身）を既に知っているから。あるいは，知らなくてもすぐにピンとひらめくから。
か，逆に
(2)テストで正答が出さえすれば意味なんてどうでもよい，という姿勢が数学学習の基本にあるから。

では、明らかに（１）の方です（知らなくてもすぐにピンと閃くのではなく、２個の意味を既に知っていたから）。

たくさん回答していただき本当にありがとうございました。

あ、それと、

＞前回の「言いがかり」といい，失礼な言い方が続きましたことをお許し下さい

全然気にしていませんので。遠慮なく忌憚無き回答をお寄せください。

回答No.4

nozomi500

>素数とは約数がちょうど２個の自然数」の方がわかりやすいと思うのですが。
「２個」が「1とそれ自身である」ことを説明した方が親切ですよ。
はじめから「２個」といわれたら、何が２個？ということになって、結局、「1とそれ自身」という説明をしなくちゃいけないから、そのほうが長くなります。意味としてきちんと定義するのが親切ですね。
（「正多面体とは？」の定義で、実際には正4,6,8,12,20面体しか存在しないのだから、それを定義すればいい、とは思わないでしょ）
テストの答え用としてまる覚えするのなら、「２個」のほうが簡単でしょうが。

そもそも、「最小公倍数」が何のために使われるか、ということを考えてみてください。テストのためではありませんね。一般では、「通分」ですが、自然数で考えなきゃどうしようもない。
一般に「公倍数」として考えるなら、「１５分おきに発車する電車と２０分おきに発車するバスが、いっしょに発車するのは？」
「いま」発車したなら０分もあるし、６０分後も６０分前もあてはまります。次に発車するのは最小公倍数である６０分後です。

お礼

nozomi500さん、ご回答どうもありがとうございます！

＞意味としてきちんと定義するのが親切ですね。

なるほど。確かに、２個の意味が「１とそれ自身」ということを説明するのは吝かではなく、親切だといえると思いますが、「１より大きいどんな整数も、少なくとも２つの約数、すなわち１とそれ自身をもつ。これら２つですべての正の約数が尽くされているような整数は、素数と名付けられる。」 よりは、「約数がちょうど２個（１とそれ自身）」と書くほうが分かりやすくないですかね？結局は国語の問題なってしまうのでしょうか？

＞そもそも、「最小公倍数」が何のために使われるか、ということを考えてみてください。テストのためではありませんね。一般では、「通分」ですが、自然数で考えなきゃどうしようもない。

この観点は今回の質問からまったく抜けていました！！なるほど。ものすごく説得力あります。通分だから自然数！いろいろご教示いただきありがとうございました。

回答No.3

puni2

私が中学生のときは，1年生の最初の単元が「倍数・約数」で，その時点ではまだ負の数は学習していませんでした。
したがって，「倍数」「公倍数」といったときに負の数は最初から考えていません。

>公倍数は整数（もちろん０も含む）なのに、最小公倍数となると、いきなり（！）「正の」となって、自然数になるということでしょうか？
常識的に考えても，そうではないでしょうか？
最小公倍数に0を含めたら，どんな場合でも0になってしまうわけで，わざわざ「最小公倍数」なんてものを考える意味がなくなってしまいます。

>うわー。こんなことが中学生の時の教科書に書いてあったかは甚だ疑問です。
手元に無いので書いてあったかどうかは分かりませんが，少なくとも授業ではやりましたよ。それも小学校のときに。
（ついでに，「なぜ最大公約数とは言っても最小公約数とは言わないのか」という話も出ました。自然数の範囲で考えれば，最小公約数は1に決まっているからですね。）
教科書には書いてあっても，0を入れないのは当たり前だと考えて，授業でわざわざ触れたりしなかったのかもしれませんね。

> 公倍数なら０を含むのに、最小公倍数なら１以上とは！！
> テストのためにこじつけたとしか思えないです！
最小公倍数を考える場合は自然数の範囲で，というのが素朴な感覚だと思います。だからこそ，最小公倍数という（「正」とか「自然数」の文字を含まない）簡単な言い方で定着してきたのでしょう。
「テストのためにこじつけたとしか思えないです！」などの指摘は，はっきりいって，言いがかりとしか思えません。

お礼

puni2さん、ご回答どうもありがとうございます！！

＞常識的に考えても，そうではないでしょうか？

はい。私も常識的に考えたらそのとおりだと思います。

＞少なくとも授業ではやりましたよ。それも小学校のときに。

おおっと。私の場合は小学生でやったかなぁ。自然数とか整数とか負数とかの概念を習うのが中学生だったから、小学生のときにやっていないと思いますが、私の記憶違いということもありますね。確かに小学生相手には倍数に必ず０が含まれることを説明するのは、感覚的には難しいかもしれません。

＞「テストのためにこじつけたとしか思えないです！」などの指摘は，はっきりいって，言いがかりとしか思えません。

アイタタ。はい。言いがかりに捉えられたとしても、ごく当然だと思います。

どうもご回答ありがとうございました！！

回答No.1

songbook

今ここに、数学の定義に関する書がないので、はっきりとは言えませんが。

おっしゃるとおり、自然数の中での考え方で結構だと思います。
素数はもとより、最小公倍数で、０を最小とするのは変な話です。あくまで「最も小さな」と言っているのですから、例えば、６と８の公倍数で、整数を範疇に入れると、－２４も、－４８０も、－９６４８０も、公倍数です。

自然数の中で考えるのが、よいと思います。

お礼

早速のご回答どうもありがとうございます！

なるほど。確かに整数なら０も負数も含めますね。これは仰るとおりに納得しました。と言うことは「最小公倍数」の「数」と言うのは、自然数と言うことを謳っているのですね。
どうせなら「最小公倍自然数」と教えたらいいのになー。と一瞬思いました。
あ、もしかして既に「最小公倍数」の定義の中に、自然数であるというニュアンスがあるのでしょうか？

ご回答ありがとうございました。