統計学に関する質問・・・・解けないんですが。

質問

二つの関数f(x)=cxexp(-2x)（x>0）,g(x)=cexp(-xの二乗+2x)（-∞＜ｘ＜∞）について以下の設問について答えよ。
（１）確率密度関数になるように各ｃを求めよ。
（２）f(x)とg(x)の分布関数をそれぞれF(x)、G(x)とする時、これらを求めよ。不定積分の初期条件はF(0)＝１、G(0)＝１／２とする。
（３）f(x)、g(x)のグラフをそれぞれ書け。
（４）F(x)、G(x)のグラフをそれぞれ書け。
　詳しい説明お願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

> ｇ（ｘ）の積分の仕方詳しくわかりますかね。
要するに，
(1)　　∫{-∞～∞} exp(-x^2+2x) dx
が欲しいということですね．
ガウス積分
(2)　　∫{-∞～∞} exp(-x^2) dx = √π
はご存知ですよね．
そうしたら
(3)　　exp(-x^2+2x) = exp[-(x-1)^2 + 1] = e exp[-(x-1)^2]
として，x-1 = t とでも置換すればすぐにできますね．
積分区間が x について-∞～∞ ですから，
t についてもやはり-∞～∞ です．

それから，不定積分の初期条件云々がちょっと気になっています．
c を決めちゃったら，F(X) や G(x) の「不定積分の初期条件」なんて入る余地は
ないと思うんですが，私は何か誤解していますかね？
F(x) = ∫{0 ～ x} f(y) dy
G(x) = ∫{-∞ ～ x} g(y) dy
ですよね？

お礼

ありがとうございます。返信おそくなってすいません。これで解けそうです。

回答No.2

NyaoT1980

各ｃということだから、それぞれのｃを求めればよいのだと思います。
ｇ（ｘ）の方について＃１で書き忘れましたが、こちらは－∞から∞で積分して１になるようにｃを決めればよいでしょう。

補足

ｇ（ｘ）の積分の仕方詳しくわかりますかね。これが分かればきっと解けるはず・・・です。

回答No.1

NyaoT1980

ヒントです。（解くのがちょっと面倒なので）
（１）ｆ（ｘ）をｘの範囲０から∞で積分してください。これが１になるようにすれば、確率密度関数です。
（２）分布関数は密度関数を不定積分して、初期条件を入れてください。
（３）、（４）は（１）と（２）が分かれば解けますね。

補足

（１）が各ｃと書いてあるんですが２式のｃを比較しなくていいんですか？