級数

質問

a>0,b>0のとき次の級数の収束、発散を求めよ。

(a/1)-(b/2)+(a/3)-(b/4)+…

どのように解けばいいのでしょうか。

プラスの項とマイナスの項をそれぞれ和を取ったのですがその後何をしていいのかわかりません。

回答No.1

endlessriver

Tn=a+(b-a)(1+(-1)^n)/2とする。これはa,b,a,b,..となる数列。
An=(a/1)-(b/2)+(a/3)-(b/4)+…+Tn{-(-1)^n}(1/n)とする
Bn=1-(1/2)+(1/3)-・・・+{-(-1)^n}(1/n)とする。これは収束します。
An-aBn=(b-a)Σ[i=1,n]{(1+(-1)^n)/2}{-(-1)^n}(1/n)
n=2mとすると
A_2m-aB_2m=(-1/2)(b-a)Σ[i=1,m](1/m)
ここで、b=a以外、
m→∞で右辺は発散。左辺の２項は収束。したがって、左辺の１項は発散。