自然数について。

質問

自然数は１以外の素数を約数として必ず１個は持つことはどうしてですか？？

回答No.1

kaduno · ベストアンサー

自分自身の数字があるからではないですか？

３の場合：１と３　　　←３が素数
４の場合：１と２と４　←２が素数
５の場合：１と５　　　←５が素数
として、必ず１と自分自身の数字が約数になりますので。

回答No.5

BO-BO-keshi

こんばんは！
「2以上の自然数は１つ以上の素数の積で表せる」
という命題を数学的帰納法で証明しましょう。
その前に定義の確認をさせてください。

[定義]
●iがnの約数⇔ある自然数jが存在してn=ijが成立する
●nが素数⇔nは1とnのみを約数にもつ

*****証明始まり*****

[1]2は素数だけの積で書ける

[2]2以上k以下の自然数は全て、素数だけの積で表せる
　 と仮定する（…(1)）と、
　(a)k+1が素数ならばk+1も素数の積で書ける。
　(b)k+1が素数でないならば、k+1=ijとなるiとj
　　 （2≦i≦k、2≦j≦k）が存在する。
　　 (1)の仮定よりiとjはそれぞれ素数だけの積で
　　 表せるので、k+1も素数の積で表せる。
　　 よって2以上k+1以下の自然数は全て、
　　 素数だけの積で表せることが示された。

[1][2]で数学的帰納法により証明された。

*****証明終わり*****

回答No.4

Ishiwara

背理法で証明するのがベストです。

前提：Nが素数の約数を持たないとします。
Nが、２以上N-1以下の約数を持つと、前提に矛盾します。
（素数でない数は、素数に分解できるからです。）
したがって、Nは（素数の定義によって）素数です。
自分自身は１つの約数ですから、これも前提と矛盾します。
したがってＮは素数の約数を持ちます。

回答No.3

Trick--o--

素数とは、約数が自分自身（素数）と１のみの自然数を言います。
素数でない自然数は、素数の乗算で表すことが出来ます＝素数の約数を持ちます

ゆえに、（２以上の）自然数は１以外の素数を約数として持ちます。

回答No.2

tommy1977

それを証明しろ、ってことですか？

そうでなければ、以下になります。
（ちなみに、２以上の自然数、という条件がつきますね）

ある自然数nが偶数の場合(正の整数mで2mであらわす事が
出来る場合）、少なくとも１つ、素数の２を約数として持ちますね。
ある自然数nが奇数の場合(正の整数mで2m+1であらわす事が
出来る場合）、その数が素数の場合は、その数が約数であり、その数が何らかの自然数で割り切れる場合は、最後に残るのが素数になります。したがって、１つ以上の素数を約数に持つことになります。

詳しくは素因数分解などの項目をご覧になってください。