素数となる自然数nはいくつあるかという問題です。

質問

こんばんは。
いつもありがとうございます。
今日は、夏休みなので中学の数学をやっていたのですが、
わからない問題があります。

nを自然数とする時、n分の1410　が素数となる自然数n はいくつあるか

という問題です。

素数っていうのはたしか１とその数以外には割れる数がない数のことだったっけ・・って思ったのですが、
たとえば１とか３とか５とか７とか１１とか１３とか１７とか１９とか２３とか２９とか３１とか３７とか４１とか４３とか４７とか５１とか・・・そういう数字が素数なのかな～と思ったのですが、
もともと素数かどうかは一つずつ割れるかどうか・・・って考えていくものかどうかもよくわからないのですが（それとももっと簡単にわかるんでしょうか？）、

この問題はどうやればいいですか。
もしよかったら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.5

char2nd · ベストアンサー

＃１です。

　1410の素因数分解は＃３さん、および＃４さんが云われているように、

　1410＝2×3×5×47

です。
　1410/ｎが素数となるとき、ですから、

　1410/ｎ＝2、3、5、47

となるときのｎがいくつあるかを求めれば良いわけで、即ち素数の個数そのものとなります。
　ちなみに上記の場合、ｎの値はそれぞれ705、470、282、30です。

　あと、他の方も云われてますが、１は素数ではありません。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0

お礼

お返事ありがとうございます！うれしいです!!
他の方からも教えていただいてわかってはきてたんですが、まとめて全部教えてくださったのでまたわかりやすくなりました。

それから素数のページもありがとうございます。
ちょうど前の方のところで「一意性」ってかいてあったのでなにかな・・と思ってまして説明が書いてありました。

もう一回教えてくださってありがとうございました。
とてもよくわかりました^-^♪

回答No.4

abc-26266

１４１０は２＊３＊５＊４７と素因数分解できるので４つですね。

素数は
「１より大きい整数のうち，１と自分自身以外の整数では割り切れないような整数」をいいます。
なぜ１を素数に含めないのかは素因数分解の一意性のためです。
１４１０＝１＊２＊３＊５＊４７
１４１０＝１＊１＊２＊３＊５＊４７

お礼

♪お返事ありがとうございます。
素因数分解できた数の分で４つってことだったんですね!!

教えてくださってありがとうございました♪

回答No.3

info22

最初に素数の定義ですが
「素数とは、１以外の数で１と自分自身しか約数がない整数のことをいう」
です。

1410を素因数分解すれば
1410=2*3*5*47
ですから
これをnで割って素数になる自然数nは
nで割ったとき、素因数が１つだけが残るものです。
2を残すには n=3*5*47 とすれば良い。
同様に3を残すには n=2*5*47 とすれば良い。
同様に5を残すには n=2*3*47 とすれば良い。
...
こうして考えれば、nは何通りできるかわかるでしょう。

お礼

こんばんは☆
そのあとの他の方の新しいお返事でも答えがそうなっていました。
さっき補足のところに書いてしまいましたが、書いているうちにお礼のとこに書くみたいな話になっていたのにそのまんまで出してしまい・・
すみませんでした。

よくわかったので、ありがとうございました☆

補足

お返事ありがとうございます。
そしたら、あと書いてなかった組み合わせは
n=2*3*5 だけになりますか。

そしたら n　は３０と２８２と４７０と７０５で
n分の１４１０は、４７と５と３と２ですか・・

あ～・・なんか合ってるっぽい答えですよね！
多分わかってきました。
ありがとうございました♪

回答No.2

rnakamra

"1"は素数ではありません。
1とその数以外に約数を持たないという条件ですから、二つは約数が無いといけません。

この問題を解くには、1410を素因数分解してみればよいでしょう。
1410の素数の約数の一つをxとすると
1410/xで1410を割るとxになりますので、題意を満たします。

要するに、1410の素数の約数一つに付き必ずそれに対応するnが存在するので、題意を満たすnの数は1410の素数の約数の数に等しくなります。

お礼

お返事ありがとうございます。
最初はレベルが高くてわたしにはわからないかな～と思ったのですが
＞
題意を満たすnの数は１４１０の素数の約数の数に等しくなります。

ということだったのでそれは、２と５と３と４７をやった時点で、答えの個数はもうわかっているっていうことですよね!!　きっと・・

う～んとそういうんだったらこれから忘れないうちに何回も同じ問題出て欲しい感じなんですけど・・わかりやすそうですよね☆

教えてくださってありがとうございました☆

回答No.1

char2nd

「1410/ｎ が素数となるときの自然数ｎの個数」と云うことですね。

　当然、1410/ｎも自然数ですから、ｎは1410を割り切ることが出来る値、ということになります。であれば、ｎは1410の約数ですね。
　設問は素数の数を訊いているので、1410を素因数分解すれば良いでしょう。

お礼

お返事ありがとうございます。
素因数分解するってことは、１４１０を２でわって７０５になって５でわって１４１、３でわって４７で・・

たとえば、２分の１４１０が７０５で素数ってことでしょうか・・
７０５だったらまた５でわれるし素数ってことではないですよね。
なんかばかですみません。。。
もし時間があったら教えていただけたらうれしいです。
もし無理だったら無理しないでください!!だいじょうぶです♪

教えてくださってありがとうございました☆